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傅氏变换中的微分积分性质-精品文档--第1页 傅氏变换中的微分积分性质-精品文档 傅氏变换中的微分积分性质 1、引言 在现代数学中，傅里叶变换有着广泛的应用，无论是在声学、数 字信号处理方面还是在生物医学工程甚至核科学的研究上无 不发挥着重要的作用，因此正确的求解傅氏变换是科研工作人员 所必须具有的基本素质之一。而我们在学习傅氏变换的过程中，有非 常容易丢掉一些关于冲击项的傅氏变换部分，这就使我们不得不寻找 一些方法来避免这些成分的丢失。 2、傅氏变换理论 2.1傅氏变换的实质 对于一些周期函数我们要进行频谱分析时，常利用傅氏级数对其 进行展开，展开公式为： 很明显，周期函数的频谱特性是离散的。而对于非周期信号来讲， 可将其周期看做是无穷大，这样频谱相邻谱线间的间隔将无限趋小， 谱线无限密集，这也就意味着其频谱特性是连续的。同时，由于周期 无限趋大，复振幅亦无限趋小。于是等式两边同乘以，以显示出各频 率分量的振幅差异。这也就是我们所定义的傅里叶变换。即： 从上式我们也可以看出具有单位频带振幅的性质。故傅里叶变换 实则为的频谱密度函数。 这时我们再讨论直流分量的傅里叶变换就不显得那么困难 了，从物理意义上来讲直流分量的频率不存在即为0 ，那么直流分 量的振幅就全部降落在 0 或者从极限的角度讲为，降落在趋近于零的 一个非常狭小的区间上，用振幅比上这样一个狭小的频带，可想而知 其结果就是一个在零点的冲击。当然，我们在数学演算时，还要添加 一个系数。即：。 2.2傅里叶变换的重要性质 2.2.1微分特性 如果在上连续或只有有限个可去间断点，且，则 傅氏变换中的微分积分性质-精品文档--第1页 傅氏变换中的微分积分性质-精品文档--第2页 需要指出的是，此微分性质只是充分的，并不能利用它进行傅里 叶变换的反向求解。例如: 例1求图一函数的傅里叶变换 分析：由图可见，该函数存在直流分量，根据上面结论，其频谱 函数中必定含有冲击项，而我们将该函数求导得下面图形，见图二。 例 1 的错误原因是由于没有考虑到微分性质的非必要性。因而遗 漏了冲击项，而此时我们利用上面所给的积分性质，并考虑到 可以看到此种解法是正确的。 随着我们学习的深入，逐渐会发现该积分特性仍存在不少缺陷， 他只能够求得某种特定的函数的傅里叶变换，对于一般的函数仍不适 用。例如: 例2分别求出图三的三个函数的傅里叶变换式 可以看出，这三个函数的导数的图像相同，见图二，而由图二经 积分恢复的原信号为g1 （t），故由导数的频谱只可直接求得。，则需 要计及积分常数的影响，故需寻求统一的公式来完成这类函数求解。 3结论 由以上分析可知，当函数无直流分量时，可以利用微分性质加 “冲击法”来求解其傅氏变换，其结果是正确的，但过程仍是错误。 如果有直流分量，则傅氏变换后结果中必有冲击，这时可利用上面通 式进行求解。以保证结果不缺少冲击项。在电子线路中，如果计算中 丢失冲击项，就相当于计算中丢失了直流分量，会对结果造成很大误 差，应予以避免。 傅氏变换中的微分积分性质-精品文档--第2页