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离散傅里叶变换（DFT）--第1页离散傅⾥叶变换（ DFT ） 　　对于第⼀幅图来说，它侧重展⽰傅⾥叶变换的本质之⼀：叠加性，每个圆代表⼀个谐波分量。第⼆幅图直观的表⽰了⼀个周期信号在时域与频域 的分解。 周期信号的三⾓函数表⽰ 　　周期信号是每隔⼀定时间间隔，按相同规律⽆始⽆终重复变化的信号。任何周期函数在满⾜狄利克雷条件下（连续或只有有限个间断点，且都是 第⼀类间断点；只有有限个极值点），都可以展开成⼀组正交函数的⽆穷级数之和。使⽤三⾓函数集的周期函数展开就是傅⾥叶级数。对于周期为T 的信号f(t)，可以⽤三⾓函数集的线性组合来表⽰，即 f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n \omega t) 　　式中\omega=\frac{2\pi}{T}是周期信号的⾓频率，也成基波频率，n\omega称为n次谐波频率；a_0为信号的直流分量，a_n和b_n分别是余弦分量 和正弦分量幅度。根据级数理论，傅⾥叶系数a_0、a_n、b_n的计算公式为： \left\{\begin{matrix}a_0=\frac{1}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{n\omega t}dt,n=1,2,3,... \\ b_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin{n\omega t}dt,n=1,2,3,... \end{matrix}\right. 　　若将式⼦中同频率的正弦项和余弦项合并，得到另⼀种形式的周期信号的傅⾥叶级数，即 f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega t+\varphi_n) 　　其中，A_0为信号的直流分量；A_1\cos(\omega t+\varphi_1)为信号的基频分量，简称基波；A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)为信号的n次谐波，n ⽐较⼤的谐波，称为⾼次谐波。上式说明任何周期信号只要满⾜狄利克雷条件，都可以分解成直流分量和⼀系列谐波分量之和，这些谐波分量的频率 是周期信号基频的整数倍。 　　⽐较两种三⾓函数形式的傅⾥叶级数，可以看出它们的系数有如下关系： \left\{\begin{matrix}A_0=a_0 \\A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\quad\varphi_n=-\arctan\frac{b_n}{a_n} \\a_n=A_n\cos \varphi_n,\quad b_n=A_n\sin\varphi_n \end{matrix}\right. 周期信号的复指数表⽰ 　　利⽤欧拉公式 \cos n\omega t=\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t}}{2}\quad\quad\sin n\omega t=\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j} 　　可以得到周期信号的复指数形式的傅⾥叶级数展开，即 　　f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{jn\omega t} 　　其中展开系数为 　　F_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\omega t}dt 　　虽然n的取值范围为(-\infty,\infty)，但n取负值并不表⽰实际上存在负频率。周期信号可以⽤三⾓函数形式的傅⾥叶级数表⽰，也可以⽤复指数形 式的傅⾥叶级数表⽰。前者物理意义明确，后者在数学处理上简便，并且容易与傅⾥叶变换统⼀起来。 周期信号的频谱图 　　为了⽅便和直观的表⽰⼀个周期信号中所含有的频率分量，常⽤周期信号各次谐波的分布图形表⽰，这种图形称为信号的频谱图。频谱图由幅度 谱图和相位谱图组成，其中幅度谱图表⽰各次谐波幅度随频率的变化关系，⽽相位谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。根周期信号展开成傅⾥叶 离散傅里叶变换（DFT）--第1页 离散傅里叶变换（DFT）--第2页 级数的不同形式，频谱图⼜分为单边频谱图和双边频谱图。 　　1. 单边频谱图 　　根据三⾓函数形式的傅⾥叶级数展开式 f(t)=A_0+\su