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简述傅里叶变换--第1页 简述傅里叶变换 傅里叶变换是现代数学、物理及工程学的基石之一， 它能将一个时间域信号转换成一个频域信号，为各种信号 处理、控制、通信、图像处理等领域提供了有力的工具， 是第一次把两个物理量之间的变换相结合，并在证明中使 用了一些非常复杂的数学方法以及接近两个世纪的科学发 展而发明的。 一、 傅里叶变换的定义 傅里叶变换是指将一个时间域函数 f(x)转换成一个频 域函数 F(u)的过程。其定义是： $$F(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{- \infty}^{+\infty}f(x)e^{-jux}dx$$ 其中，j 为虚数单位，u 为频率，f(x)为原信号，F(u) 为转换后的频率信号。该公式中，积分的上下限为负无穷 到正无穷。 分析以上公式，可以发现傅里叶变换有以下几个特 点： 1. 将原信号 f （）从时域转换到频域； 2. 傅里叶变换公式是一个积分表达式，波形的具体形 式决定了计算的难度； 3. 积分变量是虚数 u，表示频率； 简述傅里叶变换--第1页 简述傅里叶变换--第2页 4. 傅里叶变换是线性的。 二、傅里叶变换的性质 1. 时间移位性质 该性质指的是如果将函数 f(x)向右移动a 单位，则傅 里叶变换的频域函数 F(u)将乘以 e^-j2πau： $$FT(f(x-a)) = F(u) \cdot e^{-j2\pi ua}$$ 2. 频率移位性质 该性质是当函数 f(t)乘以一个复指数时，经傅里叶变 换后，其频率也将发生移位。 $$FT(e^{j2\pi Tu}f(t)) = F(u-T) $$ 其中 T 是一个常数，表示频域移位的量。 3. 线性性质 傅里叶变换是线性的，即对于任何两个函数 f1(t)和 f2(t)，有： $$FT(af_1(t)+bf_2(t)) = aF_1(u)+bF_2(u)$$ 其中 a 和 b 是任何常数。 4. 傅里叶变换的共轭对称性 傅里叶变换具有共轭对称性，即： $$F^*(u) = F(-u)$$ 5. 卷积定理 该性质的表述是：f 和 g 的卷积时 f 和 g 的傅里叶变 换的乘积。即： 简述傅里叶变换--第2页 简述傅里叶变换--第3页 $$FT(f*g) = FT(f)\cdot FT(g)$$ 其中“*”表示卷积操作。 6. Parseval 定理 荣格发现傅里叶变换有了一种均方电能定理。该定理 表明，对于一个函数 f(x)和它的傅里叶变换 F(u)，有： $$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(u)|^2du$$ 三、傅里叶变换的应用 傅里叶变换的应用非常广泛，如数字信号处理、图像 处理、语音处理、电子通信、控制工程、计算机视觉等等 领域。 在图像处理中，傅里叶变换可以将一幅图像从时域转 化为频域，这样就可