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离散傅里叶变换基础知识--第1页
离散傅里叶变换基础知识
离散傅里叶变换基础知识
傅里叶是一位法国数学家，他发现任何周期函数都可以用正弦函
数和余弦函数构成的无穷级数做为基函数来表示，也就是我们数学上
面学到的傅里叶级数，设一个周期函数 f(t) ，其周期为T ，则其角频率
为 w0=2π
T
，则该函数可以展开为一系列三角函数的累加：
f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+?
=a0
2
+∑a n cosnw0t+b n sinnw0t ∞
n=1
其中，上式中的各个系数：
a0=2
T
∫f(t)dt
T2
T2
a n=2
T
∫f(t)cosnw0tdt T2
T2
b n=2
T
离散傅里叶变换基础知识--第1页
离散傅里叶变换基础知识--第2页
∫f(t)sinnw0tdt T2
T2
但这个形式不太好用，因为正弦和余弦项是分开的，我们要考虑
把他们两个整合起来，这样对每一个频率 nw0 我们就可以得到一个系
数项（比如上式的 a n 或者 b n ），这其实就是该频率对应的幅值。然
后我们以频率为 X 轴，以其对应的幅值为 Y 轴，就可以得到该函数在
频域里面的图像了。对于周期函数，其频域里面的图像是不连续的，
只在 w=0,±w0,±2w0…才有图像。
那么我们该如何将上面的正弦项和余弦项整合到一块呢？答案是
欧拉公式。下面就是鼎鼎大名的欧拉公式：
e iwt=coswt+isinwt
换个表达方式：
coswt=1
2
(e iwt+e?iwt)
sinwt=1
2i
(e iwt?e?iwt)
将上面的公式代入傅里叶级数中：
f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+?
=a0
2
+∑a n cosnw0t+b n sinnw0t
n=1
=a0
2
+∑{a n
e inw0t+e?inw0t
离散傅里叶变换基础知识--第2页
离散傅里叶变换基础知识--第3页
2
+b n
e inw0t?e?inw0t
2i
}∞
n=1
=a0
2
+∑{
a n?
b n i
2
e inw0t+
a n+
b n i
2
e?inw0t}∞
n=1
=a0
2
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