时域和频域变换之---傅里叶级数的数学推导.pdf

时域和频域变换之傅里叶级数的数学推导--第1页 时域和频域变换之 傅⾥叶级数的数学推导 　　废话不多说先列提纲： 　　0.概述-需求分析-功能描述-受限和缺点改进+知识点预备 　　1.泰勒级数和傅⾥叶级数的本质区别，泰勒展开 　　2. 函数投影和向量正交 　　3.两个不变函数求导是本⾝e^x,sinx,cosx也是为什么要傅⾥叶转换的原因！ 　　4.傅⾥叶技术推到过程 　　5.附录参考资料 　　0.有些时候，尤其是在图像处理中，矩阵运算数据量太⼤，特征提取量多，此时可以通过时域转频域来减少计算量，⽽且此转换不会损 失数据完整性。 时域转频域的⽅法有周期函数⽤傅⾥叶技术，⾮周期函数（没有间断点的函数）⽤傅⾥叶转换，类似于直⽅图的分析。 　　 两⾓和公式 　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) 　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) 　　cos(α+β)=cosαcos β-sinαsinβ 　　cos(α-β)=cosαcos β+sinαsinβ 　　sin(α+β)=sinαcos β+cos αsinβ 　　sin(α-β)=sinαcos β -cos αsinβ 　　sinαsinβ =-[cos( α+β)-cos(α-β)] /2 　　cosαcos β = [cos( α+β)+cos(α-β)]/2 　　sinαcos β = [sin( α+β)+sin(α-β)]/2 　　cosαsinβ = [sin( α+β)-sin(α-β)]/2 　　正弦 　　sin2A=2sinA·cosA 　　余弦 　　1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 　　2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 　　3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 　　即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 　　 　　tan2A= （2tanA）/ （1-tan^2(A)） 平⽅关系： 　　sin^2(α)+cos^2(α)=1 　　1+tan^2(α)=sec^2(α) 　　1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常⽤的两个公式 　　sin^2(α)+cos^2(α)=1 　　tan α *cot α=1 　　（1）. 　　泰勒级数是求导函数组成的变化特征函数和；反应变化剧烈程度 　　傅⾥叶级数是频谱叠加的三⾓函数和；反应变化频率本质属性 　　（2）. 　　 　　从⼏何的⾓度来看。傅⾥叶告诉我们，f(x) 可以⽤下⾯这组由⽆限多个三⾓函数（包括常数）组成的“正交基”来展开， 　　傅⾥叶级数展开其实只是在做⼀个动作，那就是把函数“投影”到⼀系列由三⾓函数构成的“坐标轴”上。 　　（3）. 　　正弦和余弦是⼆阶偏微分⽅程（含有电容等元件的⽅程），⽽电容是可以隔直流通交流的 时域和频域变换之傅里叶级数的数学推导--第1页 时域和频域变换之傅里叶级数的数学推导--第2页 　　（4）. 　　⾸先，隆重推出傅⾥叶级数的公式，不过这个东西属于“⽂物”级别的，诞⽣于19世纪初，因为傅⾥叶他⽼⼈家⽣于1768年，死于1830 年。 　　但傅⾥叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着⼴泛的应⽤，这不由得让⼈肃然起 敬。⼀打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出⼀个“傅⾥叶级数”或“傅⾥叶变换”，弄⼀长串公式，让⼈云⼭雾罩。 　　如下就是傅⾥叶级数的公式： 　　 　　不客⽓地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——⼜臭⼜长”，⽽且来历相当蹊跷，不知那个傅⾥叶什么时候灵光乍现，把⼀个周 期函数f(t)硬⽣⽣地写成这么⼀⼤堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成⼀个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和 cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等⼀系列式⼦的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，⾄于这些系数，需要⽤积分来解得，即②③④ 式，不过为了积分⽅便，积分区间⼀般设为[-π, π]，也相当⼀个周期T的宽度。 　　能否从数学的⾓度推导出此公式，以使傅⾥叶级数来得明⽩些，让我等能了解它的前世今⽣呢？下⾯来详细解释⼀下此公式的得出过 程： １、把⼀个周期函数表⽰成三⾓级数： 　　⾸先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、⽆线电电⼦振荡器的电⼦振荡等，⼤多 可以表述为： 　　f(x)=A sin(ω