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离散傅里叶变换解释的最透彻的包括定义物理意义--第1页 离散傅⾥叶变换解释的最透彻的包括定义物理意义 傅⽴叶变换是以时间为⾃变量的信号和以频率为⾃变量的频谱函数之间的⼀种变换关系。 由于⾃变量时间和频率可以是连续的，也可以是离散的，因此可以组成⼏种不同的变换对。 （1）⾮周期的连续时间，连续频率 傅⾥叶变换 正变换 X(j Ω)={-∞,+∞}x(t)*exp^-j Ωt dt 反变换 x （t）=1/2π{-∞,+∞} X(j Ω)*exp^jΩt dt 练习⼀： 时域函数：连续时间矩形脉冲 频域：连续频率的⾮周期函数 （2）周期的连续时间，离散频率傅⾥叶级数 周期为T0的时间信 x(t) 的傅⾥叶级数展开的系数为X(jkΩ0),构成的傅⾥叶变换对如下： 正变换 X(jk Ω)= {-T /2,+T /2}x(t)*exp^-jk Ω t dt 0 0 0 反变换 X(t)= ∑k={-∞,+∞} X(jk Ω )*exp^jkΩ t 0 0 式中X(jkΩ )是以⾓频率Ω 为间隔的离散函数形成频域的离散频谱，Ω 与时间信号的周期之间的关系为Ω =2ΠF=2π/T .傅⾥叶级数展开将连续时间周期函数 0 0 0 0 0 分解为⽆穷多个⾓频率为Ω 整数倍的谐波，k为各次谐波序号。 0 练习⼆ 时域：连续时间周期矩形脉冲 频域：⾮周期的频域 结论：时域的周期性对应于频域的离散性 （3）⾮周期的离散时间、连续频率序列的傅⾥叶变换 ⾮周期离散时间信号的傅⾥叶变换就是序列的傅⾥叶变换 正变换 X(e^j ω)= ∑n={-∞,+∞}x(n) e^ -jω 反变换 x(n)=1/2 π{-π,+π}X(e^j ω) e^j ωn dω 式中，ω是数字频率 如果序列x(n) 是模拟信 x(t)经过抽样得到，抽样时间间隔为T ,抽样频率为f =1/T ,抽样⾓频率为Ω =2π/T ，由于数字频率ω与模拟⾓频率Ω之间的关系为 s s S s s ω=ΩT ，因此抽样数字频率ω =Ω T =2π，则上⾯的变换对也可写成 s s s s 正变换 X(e^j ΩT)= ∑n={-∞,+∞}x(nT) e^j ΩT 反变换 x(nT)=1/ Ω {-Ω /2,+ Ω /2}X(e^j ΩT) e^j ΩT dΩ s s s 练习三 时域：对连续时间矩形脉冲按照Ts为周期进⾏采样 频域：以Ωs为周期严拓 结论：时域的离散造成频域的周期严拓，时域的⾮周期性对应于频域的连续性 （4）离散时间，离散频率 离散傅⾥叶变换 由于数字信号处理是希望在计算机上实现各种运算和变换，其所涉及的变量和运算都是离散的，⽽前⾯三种傅⾥叶变换对中，时域或频域中⾄少有⼀个域是 连续的，所以都不可以在计算机上进⾏运算和实现，因此对于数字信号处理，应该找到在时域和频域都是离散的傅⾥叶变换，即离散傅⾥叶变换。 离散傅里叶变换解释的最透彻的包括定义物理意义--第1页 离散傅里叶变换解释的最透彻的包括定义物理意义--第2页 前⾯的讨论已经得出结论：时域的周期性导致频域的离散性，时域的连续函数在频域形成⾮周期频谱；⽽时域的离散性造成频域的周期延拓，时域的⾮周期 性对应于频域的连续函数形式。那么对于时域和频域都是离散的离散傅⾥叶变换，应该形成时域和频域都具有周期性的函数。 如果序