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离散傅里叶变换的公式--第1页 离散傅里叶变换的公式 离散傅里叶变换（DFT）是一种数字信号处理的方法， 它将时域上的信号转换为频域上的信号。在图像处理、音 频处理、通信等领域中广泛使用。DFT 的公式和理论基础十 分重要，本文将详细介绍 DFT 的公式及其相关知识。 一、基本概念 在介绍 DFT 的公式前，有一些基本概念需要了解： 1.离散时间傅里叶变换（DTFT）：DTFT 是一种将离散 时间序列（离散信号）变换到连续角频率谱的变换。它表 示为 X(e ^ jω)=∑x(n)e ^ -jωn ，其中 X(e ^ jω) 是离散时间序列 x(n) 的 DTFT，e ^ jωn 是离散复指数 信号。 2.离散傅里叶变换（DFT）：DFT 是一种计算离散时间 序列的离散频率谱的算法。用 DFT 可以将一个 N 个离散点 的信号转换为N 个离散频率点的频谱，其中每个点代表 个离散频率。由于 DFT 的本质是使用频域上的样本估计 DTFT，因此它通常比DTFT 更具实际意义。 3.复数：在 DFT 中，我们需要使用复数表示信号和频 率。复数可表示为 a+bi ，其中 a,b 均为实数，i 为虚数单 位，i^2=-1。其中a 称为实部，b 称为虚部。 4.正变换和逆变换：正变换是将时域信号转换为频域 信号的过程，逆变换是将频域信号转换为时域信号的过 离散傅里叶变换的公式--第1页 离散傅里叶变换的公式--第2页 程。对于 DFT 来说，正变换即将离散时间序列转换为离散 频率点的频谱，逆变换即将离散频谱转换为离散时间序 列。 二、DFT 的公式 DFT 的公式如下： X(k)=∑x(n)e ^ -j2πkn/N ，k=0,1,2,...,N-1 其中，X(k)是离散时间序列 x(n)的DFT 系数，k 是频 率索引，N 是样本数。 公式中的 e ^ -j2πkn/N 是离散复指数信号，也称为 旋转因子，代表了信号的周期性。由于信号周期性的特 点，e ^ -j2πkn/N 的 n 取值范围在 0~N-1 之间，因此 k 取值在 0~N-1 之间时，X(k) 能够准确地表达样本信号 的离散频率成分。 需要注意的是，X(k) 及其离散频率点均为复数， X(n) 中既包含了信号的幅度，也包含了频率相位信息。幅 值可以通过计算 X(k) 的模得到，频率相位可以通过计算 X(k) 的辐角得到。 DFT 的逆变换公式如下： x(n)=1/N∑X(k)e ^ j2πkn/N ，n=0,1,2,...,N-1 其中，x(n) 是 DFT 系数 X(k) 转换回来的离散时间序 列，N 是信号样本数，k 是频率索引。 三、应用举例 离散傅里叶变换的公式--第2页 离散傅里叶变换的公式--第3页 下面举一个例子来说明 DFT 的应用。 假设有一个长度为 8 的时域离散信号 x(n)=[1,2,3,4,5,6,7,8]，现在需要计算它的 DFT。 根据 DFT 公式，求得每个离散频率点的值为： X(0)=∑x(n)e ^ -j2πkn/N=36 X(1)=∑x(n)e ^ - j2πkn/N=-4+9.66i X(2)=∑x(n)e ^ -j2πkn/N=-4+4i X(3)=∑x(n)e ^ -j2πkn/N=-4+1.67i X(4)=∑x(n)e ^