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无界弦振动的研究--第1页 无界弦振动的研究 马玉荣 摘 要 用行波法、积分变换法（傅里叶变换法、拉普拉斯变换法）、分离变量法、格林函数 法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。计算和分析表明：对于无界弦的自由振动问题，行波法 和傅里叶变换法比较简便，这是常用的求解方法。对于无界弦受迫振动问题，利用叠加原理应用行 波法和齐次化原理求解最简便。行波法对于求解无界弦振动问题有其特殊的优点，即，行波法已求 出无界弦自由振动问题的达朗贝尔公式，无界弦受迫振动问题的公式，这些公式是通用的，只要把 具体问题中初始条件的函数带入计算即可。 关键词 无界弦 行波法 傅里叶变换法 拉普拉斯变换法 分离变量法 格林函数法 一、引言 物理上及工程技术上常需要研究各种各样的振动问题，如弦的振动，杆的振动、膜的振动、体 [1] 的振动等。弦的振动又有无界弦 的振动、有界弦的振动。其中，研究无界弦的振动问题受到了人 们的重视。 [2-6] 通过众多学者的努力，对无界弦振动问题的研究方法越来越多 。比如在运用特征线方法的基 [3] [4] 础上利用线积分予以求解 ；有学者用分离变量法求解 ，将分离变量形式的解代入泛定方程求出泛 定方程的特解，再将所有可能的特解线性组合为通解，最后将初始条件代入通解计算各项系数，最 后得出定解。分离变量法本来适用于有界问题，作者这里用它求解无界问题，开拓了求解无界弦振 [5] [6] 动问题的新思路。还有用傅里叶变换法 、行波法 等求解无界弦振动问题。本篇文章将用行波法、 傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。 通过比较，找出计算比较简便的方法和最佳方法，并且运用Matlab软件模拟出无界弦自由振动的几 个图形，方便大家理解弦的自由振动。 二、无界弦的振动问题 无界弦的振动问题包括无界弦的自由振动和受迫振动。两种问题的方程分别为(I)和(II)它们都 [1] [1] 由泛定方程 和初始条件 构成。无界弦自由振动的泛定方程为(I)中的(1)式，受迫振动的泛定方程 u u u x 为(II)中的(1)式，两者的初始条件为(2)式和(3)式。其中 是弦的横向加速度； 是 关于 的 tt xx u a t 二阶导，质点间的牵连体现在 上； 是振动在弦上的传播速度，错误！未找到引用源。是 时刻 xx 1 无界弦振动的研究--第1页 无界弦振动的研究--第2页 作用于 处单位质量上的横向外力，错误！未找到引用源。是初始位移，x u(x,0)是初始速度，错误！