高等数学课件-第三章 微分中值定理与导数的应用.pdfVIP

第三章 微分中值定理 与导数的应用 罗尔中值定理罗尔中值定理 推广 中值定理 拉格朗日中值定理 泰勒公式 (第三节) 柯西中值定理 研究函数性质及曲线性态 应用 利用导数解决实际问题 第一节 微分中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 引理 （费马定理） 设函数f (x )在点x0 的某邻域 U(x ) 内有定义并且在x 处可导 ，如果对任 0 0 意 x U(x ) ，有 0 f (x )  f (x )(或f (x )  f (x )) 0 0 则则 ff ((xx ))  00 00 直观含义:局部最值点处若可导，导数必定等于0. 证明 不妨设x U ( x 0 )时 ，f ( x )  f ( x 0 ). 于是 ，对 于x 0 x U ( x 0 ), 有 f (x 0 x )  f (x 0 )  0, f (x 0  x )  f (x 0 )  0, f ( x 0 x )  f ( x 0 ) 若 x  0, 则有  0; x 若 x  0,则有 f ( x 0 x )  f ( x 0 )  0; x 根据f (x )在x 00可导的条件, 左导数和右导数存在， 再由极限的保号性,   f ( x 0 x )  f ( x 0 ) f ( x 0 )  f ( x )  lim  0;  0 x 0 x  f ( x 0 x )  f ( x 0 ) f ( x )   0 f ( x )  lim  0;  0 x 0 x f (x )  0. 0