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变分法Variational Methods 变分法简介 基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法 基本概念 泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函数，泛函是函数的函数。 1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量为函数的其他函数（因变量）； 3) 泛函中，除一阶导数外，还可以包含有高阶导数。 经典变分问题 最速落径问题 在垂直平面内，两点p1、p2间确定一滑槽，使一物体在自重作用下，以最短时间由p1下降到p2。 最短线程问题 给定曲面g(x,y,z)上确定一条曲线，使其在曲面上的两点之间的长度最短。 等周问题 在所有的封闭平面曲线中，若这些曲线有固定长度L，确定一条曲线，使其所围成的面积A最大。 变分法 经典变分问题都是寻求一个问题的最优解答，其求解过程为“最优化”过程。 经典变分问题的求解方法和过程是泛函求极值的方法和过程。 研究泛函极值的方法就是所谓变分法，研究泛函极值的近似方法就是所谓变分方法。 函数求极值 局部最大值 局部最小值 拐点 x y=f(x) 一阶变分 函数F对变量x,y和y`二次可微； 泛函I在两点之间的数值取决于两点间所选择的路径，即函数y(x)。 设存在函数y(x)，使泛函I达到极值，其相邻路径为 。 y(x)称为“极值曲线”或“极值函数”， 称为“可变路径” η(x)是一可微函数，a为一微量的参变数。 η(x1)＝η(x2)＝0 a=0时， 为极值的必要条件为： 注意到 ， 在两端点 ∵ 为任意函数 ∴ 欧拉－拉格朗日方程 最速落径问题 (1) 根据能量守恒原理 (2) 设物体从零点静止开始下落 式(2)简化为： (3) (4) 将式(4)直接代入欧拉－拉格朗日方程 (5) (6) (7) 方程(7)表示一条旋轮线，它是直径为C的圆轮滚动时，轮周上一固定点的轨迹方程。 变分运算 引入“δ算子”，定义 δ算子表示当独立变量x为一固定值时，因变量函数y的任意微小变化。 x 利用δ沿可变曲线将F写成： 在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数： ∴ F的全变分： 一阶变分： I取极值的条件： 具有多个因变量： i=1,2,3,…,n 含有高阶导数： Euler－Poisson方程： 变分的算法 (1) , (2) (3) (4) (5) (6) (7) , * *