两个等差数列公共项的解决策略.docx

PAGE PAGE 1 两个等差数列公共项的解决策略 已知两个等差数列和，且为，为 由这两个等差数列的公共项按照从小到大的顺序构成一个新数列，求这个数列的通项公式. 若它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此相同数值的项. 问题（1）解决策略 解法一： 依题意，，，设两个等差数列的公共项按照从小到大的顺序构成一 个新数列，观察两数列可知，设， 因为，所以不是公共项； 因为，所以不是公共项； 因为，所以是公共项， 所以，因为，所以是以5为首项，以12为公差的等差数列，所以. 注释：此种方法是通过寻找数列的相邻两项规律，从而得到问题的解决，从此题的解决过程可以得到两个等差数列的公共项按照从小到大的顺序构成以两等差数列公差的最小公倍数为公差的等差数列. 解法一： 依题意，，，设两个等差数列的公共项按照从小到大的顺序构成一 个新数列，观察两数列可知,设，即，则， 下面对分三种情况进行讨论： 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，是整数，符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意. 由以上讨论可知当取被3整除余2的正整数数时，都是正整数， 因此数列. 注释：此种方法通过讨论的属性，从而得到公共项是数列的一个子数列，从而得到公共项构成的数列的性质，讨论的属性可以从分母观察将分几种情况，其实是将正整数分类的问题. 问题（2）解决策略一 依题意，，，所以，，由， 可得，所以两数列的公共项有10项. 注释：此种解法是基于已知公共项构成数列的通项公式. 解决策略二 依题意，，，设两个等差数列的公共项按照从小到大的顺序构成一 个新数列，观察两数列可知,设，即，则， 下面对分三种情况进行讨论： 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，是整数，符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意. 由以上讨论可知当取被3整除余2的正整数数时，都是正整数， 当时， 由得到所以，所以两数列的公共项有10项.