信息安全数学基础第八九十章练习题.pdfVIP

首先证明 是一个群，具有结合律，单位元，可逆性，封闭性 由 运算定义可知 结合律满足 且易得交换律也满足 由于 均有 因此 是 的单位元 单位元存在 根据 运算定义 是 的逆元， 因此可逆 封闭性 因此满足封闭性 所 以 是一个群 进而证明， 是一个循环群 因此 注意到 有群元 的阶是 所 以 由群元 生成的循环子群 的阶是 ，等于 的阶，故有 因此， 是一个 阶循环群，生成元共有 个 有一个生成元 下面求 的所有子群 循环群的子群仍然是循环群 的阶是 ， 的正因子是 因此可 以构成这些阶的子群 且各阶子群有且只有 个 阶子群 有 个生成元，形如 运算 因此 生成元 子群为 阶子群 有 个生成元 生成元 子群为 阶子群 有 个生成元 生成元 子群为 阶子群 有 个生成元， 生成元 子群为 阶子群 有 个生成元 生成元 子群为 阶子群 有 个生成元 生成元 子群为 设素数阶群 ，阶为素数 ；设其一子群为 于是有 根据拉格朗日定理，子群 的阶 一定有 而 是素数，所 以 或者 如果 的阶 那么 就是单位元 由于 是素数 所 以 存在非单位元元素 设 由于 所 以 的阶不等于 因此 即 所 以 原素数阶群 是一个循环群 构造法 设群 的阶是 由于 是素数 因此 设循环子群 根据拉格朗日定理 由于 是素数 根据标准分解式 所 以显然 是使得 最小的 值 因此元素 的阶是 因此循环子群 的阶就是 证明成立 为一个群 由群的运算封闭性 设 的阶为 根据题干 因此 根据群元阶的性质 而 所 以 是群元 的逆元 设 的逆元是 于是 所 以 也就是 的逆元 所 以根据逆元唯一性 所 以 注意到 所 以 所 以 也就是 又根据题干条件 所 以 也就是 同理 是群元 的逆元 也就有了 根据 于是有 所 以 根据 有 所 以 由以上有 所 以 而 因此 所 以 又 所 以