数学分析第七讲反常积分.docx

0 00 第七讲 非黎曼积分（反常积分） 一、知识结构 我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）.下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分 为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研 究它的计算问题,而对反常积分, 主要研究它的收敛问题. 1、 一元函数的反常积分 (1) 一元函数反常积分的概念和定义 我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间?a, b?或有限闭区域 D ， 如果将积分区间?a, b?换成无限区间[a,??) 或非闭区间(a, b]（ a 是被积函数的瑕点）或?a,???，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间?a, b?换成无 限区间[a,??) 或非闭区间 (a, b] （ a 是被积函数的瑕点,即函数 f (x) 在点 x 处无界）. 定 义 1 函 数 f ( x) 在 无 限 区 间 [a,??) 连 续 ， 则 定 义 ??? f (x)dx ? lim ?A f (x)dx ，如果极限 lim ?A f (x)dx 存在，我们称反 a 常积分? ?? a A? ?? a f (x)dx 收敛. A??? a 定义 2 函数 f ( x) 在非闭区间(a, b]连续，而在点a 右邻域内无界（ a 是 1 11 被 积 函 数 f ( x) 的 瑕 点 ） 即 函 数 在 点 a 无 界 ， 则 定 义 ?b f (x)dx ? lim ?b f (x)dx ? lim ?b f (x)dx , 如果极限 lim ?b f (x)dx a ? ?0? a ?? k ?a ? k ? ?0? a ?? 存在，我们称反常积分?b a f (x)dx 收敛. 函数 f ( x) 在点a 右邻域内无界的意思是： lim x?a ? f (x) ? ? .注意: 函数 在点 a 没有定义,但函数 f ( x) 在点a 右极限 lim x?a ? f (x) 可以存在,这时a 不 是被积函数 f ( x) 的瑕点. sin x 例如,函数 x 在点 0 处没有定义,但 lim x?0? sin x x ? 1 ,所以 x ? 0 不是 积分?1 sin x dx 的瑕点. ?1 sin x dx 不是反常积分. 将积分?1 sin x dx 看 0 x 0 x 0 x 作推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数 f (x) 在闭区间?a, b?上仅有有限 个第一类间断点, 则积分?b f (x)dx 为推广的黎曼积分,它也是收敛的. a 定义 3 函数 f ( x) 在开区间(a, b) 内连续，a, b 都是函数 f ( x) 的瑕点， 则定义 ?b f (x)dx ? ?c f (x)dx ? ?b  f (x)dx ? lim ?c  f (x)dx ? lim  ?b ??  f (x)dx , a a c ? ?0? a ?? ? ?0? c 如果极限 lim ? ?0? ?c a ?? f (x)dx 和 lim ? ?0? ?b?? c f (x)dx 均存在，我们称反常积分 ? b f (x)dx 收敛. a 定义 4 函数 f ( x) 在无限区间(a,??) 连续，a 是函数 f ( x) 的瑕点，则 定义 ??? f (x)dx ? ?b f (x)dx ? ??? f (x)dx ? lim ?b f (x)dx ? lim ?A f (x)dx , a a b ? ?0? a ?? A??? b 如果极限 lim ? ?0? ?b a ?? f (x)dx 和 lim ?A f (x)dx 均存在， 我们称反常积 分 A??? b 2 22 ??? a f (x)dx 收敛. ②积分区域无限且被积函数 f (x, y) 有瑕点（了解）. 2、一元函数反常积分的性质与收敛判别 请同学们切记如下例子中的结论. 例 讨论积分?1 1 dx 和??? 1  dx 的敛散性. 0 x p 1 x p 解 显然?1 1dx 和??? 1dx 均发散. 0 x 1 x 在区间(0,1] 上, 当 p ? 1 时, 函数 1 ? x p  1 , 即前者的图像在后者的图 x 像下方,这时?1 1 0 x p dx 收敛(请同学给出证明). 当 p ? 1 时, 函数 1 ? 1 , x p x 即前者的图像在后者的图像上方,这时?1 1 0 x p dx 发散(请同学给出证明). 在区间[1,??) 上, 当 p ? 1 时, 函数 1 ?