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高等教育线性代数矩阵第1页/共171页 第一节 矩阵的基本概念一 矩阵的引入三 几种特殊矩阵四 矩阵与线性变换五 小结二 矩阵的概念第2页/共171页 1、某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子鸡蛋稀饭周同学1211张同学0000陈同学0221为了方便，常用下面的数表表示一、矩阵的引入第3页/共171页 2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四城市之间的航线图其中√ 表示有航班. 为了便于计算,把表中的√ 改成１,空白地方填上０,就得到一个数表:北京杭州广州上海这个数表反映了四城市间交通联接情况.为了方便，常用下面的数表表示广州杭州北京上海发站广州 杭州 北京 上海到站第4页/共171页 3、线性方程组的解取决于系数常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.第5页/共171页 二、矩阵的定义定义）排成的 行 列的矩形数表，称为数域由数域　中的　　　个数　（记作：元素行标列标称为矩阵　的　　　元.中的一个　　　矩阵.F或或第6页/共171页 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.注：１、只有一行的矩阵称为行矩阵,只有一列的矩阵称为列矩阵.２、３、行数与列数相等的矩阵称为ｎ阶方阵,４、若　　　　　　　　　　，且　　　　　，称两矩阵同型.５、称为方阵的行列式.若　　　　　　　　　　，且　　　　，称两矩阵相等.６、第7页/共171页 例如实矩阵矩阵（行矩阵）矩阵（１阶方阵）矩阵（列矩阵）复矩阵３阶方阵两矩阵同型两矩阵相等第8页/共171页 三、几种特殊的矩阵１、零矩阵个元素全为零的矩阵称为零矩阵.注意 不同的零矩阵未必相等的.记作 或 .２、对角矩阵主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵.不全为0记作第9页/共171页 ３、单位矩阵主对角线上的所有元素全为1的对角阵称为单位阵.全为1记作4、数量矩阵记作主对角线上的所有元素全为 的对角阵称为数量阵.全为第10页/共171页 5、三角矩阵形如形如的矩阵称为上三角矩阵.的矩阵称为下三角矩阵.上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵.记作第11页/共171页 6、负矩阵称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；若，则称为 的负矩阵.记作7、行阶梯形矩阵2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.第12页/共171页 如第13页/共171页 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：1）行阶梯形矩阵8、行最简形矩阵2）各非零行的首非零元均为1.3）首非零元所在列其它元素均为０.如第14页/共171页 称满足下列两个条件的矩阵为标准形：1）左上角为单位阵；９、标准形２）其它元素均为０.如第15页/共171页 之间的关系式一个线性变换.四、矩阵与线性变换的关系个变量　　　　　与　个变量表示一个从变量　　　　　 到变量其中 为常数.第16页/共171页 线性变换的系数构成的矩阵称为系数矩阵第17页/共171页 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为称之为恒等变换.对应单位阵.第18页/共171页 线性变换对应第19页/共171页 线性变换对应这是一个以原点为中心旋转 角的旋转变换.第20页/共171页 (1)矩阵的概念五、小结(2) 特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵；单位矩阵；对角矩阵；零矩阵.第21页/共171页 矩阵与行列式的有何区别?思考题 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.另外行列式与矩阵的记号也是不同的.解答第22页/共171页 第二节 矩阵的运算一 加法三 乘法四 矩阵的幂九 小结二 数乘六 方阵的行列式五 矩阵的转置七 伴随矩阵八 共轭矩阵第23页/共171页 课前复习1、矩阵的定义形数表，称为数域Ｆ中的一个ｍ×ｎ矩阵.由数域Ｆ中的ｍ×ｎ个数 排成的ｍ行ｎ列的矩记作：注：实矩阵，复矩阵，行矩阵，列矩阵，方阵，方阵的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等.第24页/共171页 2、几种特殊的矩阵1）零矩阵ｍ×ｎ个元素全为零的矩阵称为零矩阵.2）对角矩阵主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵.3）单位矩阵主对角线上的所有元素全为１的对角阵称为单位阵.4）数量矩阵主对角线上的所有元素全为λ的对角阵称为数量阵.5）三角矩阵上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵.6）负矩阵第25页/共171页 称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵：1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；7）阶梯形矩阵2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：1）行阶梯形矩阵8）行最简形矩阵2）各非零行的首