数学分析华东师大 反常积分.docx

箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大?设地球半径为 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( R) 处需作的功为 §1 反常积分概念 — 问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限 制: 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这些限制 , 考虑无 穷区间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 . 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 ∫r mg R2 1 d x = mg R2 - 1 . R x2 R r 当 r → + ∞时, 其极限 mg R 就是火箭无限远离地球需作的 功 . 我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 ∫+ ∞ R mg R2 x2 r d ∫ d ∫ r → + ∞ R mgR2 x2  d x = mg R . 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v0 至少应使 1 2 02 mv = mg R . 0 用 g = 9 .81 ( m6s/2 ) , R = 6 .371 × 106 ( m) 代入 , 便得 v0 = 2 g R ≈ 11 .2( km6s/) . 例 2 圆柱形桶 的内壁高 为 h , 内半径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) . 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ? §1反常积分概念 §1 反常积分概念 PAGE 269 PAGE 268第十一章 PAGE 268 第十一章 反 常 积 分 图 11 - 2从物理学知道 , 在不计摩擦力的情形下 , 当桶内水位高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位时间内 流过单位截面积的流量 ) 图 11 - 2 v = 其中 g 为重力加速度 . 2 g( h - x) , 设在很小一段时 间 d t 内, 桶中液面降低的微小量为 d x , 它们之间应满足 πR2 d x = vπr2 d t , 由此则有  d t =  2 Rd x , x ∈ [0 , h] . r2 R 2 g( h - x ) 所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成 “积分”: t=∫h R2 t =  d x . f 0 r2 2 g( h - x) 但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是 ft = lim∫u R2 d x f r2 2 g( h - x) u → h - 0 2 2 = lim · R  h - h - u - u → h g r2 2 h R 2 = g r . 相对于以前所讲的定积分 ( 不妨称之为正常积分 ) 而言, 例 1 和例 2 分别提 出了两类反常积分 . 二 两类反常积分的定义 定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上, 且在任 何有限区间 [ a , u] 上可积 .如果存在极限 lim∫u f ( x) d x = J, u→ + ∞ a  ( 1 ) 则称此极限 J 为函数 f 在[ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作 J =∫+ ∞ a f ( x) d x , ( 1′) 并称∫+ ∞ f ( x) d x 收敛 . 如果极限 ( 1) 不存在, 为方便起见, 亦 称∫+ ∞ f ( x) d x a a 发散 . 类似地 , 可定义 f 在( - ∞ , b] 上的无穷积分 : ∫b f ( x )d x = lim∫b f ( x) d x .  ( 2 ) - +- ∞ u → - ∞ - + 对于 f 在 ( ∞ , ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 : ∫+ ∞ f ( x ) d x =∫a f ( x) d x +∫+ ∞  f ( x) d x ,  ( 3) - ∞ - ∞ a 其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 . 注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 . 注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、(2) 两类无 穷积分来 定义的, 因此 , f 在任 图 11 - 3何有限区间 [ v , u] ì ( - ∞ , + ∞ ) 上, 首先必须是可积的