数学分析三试卷及答案.docx

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共 8 题，每题 9 分，共 72 分）。 求函数 f (x, y) ? sin 1 ? sin 1 在点(0,0)处的二次极限与二 3 x3 y 3 x 3 y 重极限. 解： f (x, y) ?  sin 1 ? 3 xy 3 x  sin ? ?  3 y，因此二重极限为 3 y 3 y1x 3 y 1 x 3 x 3 x3 y 3 x 3 y 3 x 3 y 因为lim sin ? sin 与lim sin ? sin 均不存在， x?0 y x y?0 y x 故二次极限均不存在。 ……(9 分) ? y ? y(x), ?z ? xf (x ? y), 设? 是由方程组? 所确定的隐函数,其中 f ?z ? z(x) ?F (x, y, z) ? 0 和 F 分别具有连续的导数和偏导数,求 dz . dx 解： 对两方程分别关于 x 求偏导: ? dz ? f (x ? y) ? xf ?(x ? y)( dy ? dx dx ? ?F ? F dy ? F dz ? 0  ?1) ，  ……(4 ?? x y dx 。 z dx dz F 分) f (x ? y) ? xf ?(x ? y)(F  F ) 解此方程组并整理得 ? y ? y x . ……(9 dx F y 分) xf (x ? y)F z 取?,? 为新自变量及w ? w(? , v) 为新函数，变换方程 ?2 z ? ?2 z ?z ? z 。 ?x2 ?x?y ?x x ? y x ? y 设? ? , ? ? , w ? zey （假设出现的导数皆连续）. 2 2 解： z 看成是 x, y 的复合函数如下： z ? w , w ? w(?,? ), ? ? x ? y , ? ? x ? y 。 ……(4 分) ey 2 2 代人原方程，并将 x, y, z 变换为?,?, w 。整理得： ?2 w ?  ?2 w  ? 2w 。 ……(9 分) ??2 ???? 要做一个容积为1m3 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件 下的最小值，其中 目标函数: S 表 ? 2?rh ? 2?r2 , 约束条件: ? r 2 h ? 1。 ……(3 分) 构造 Lagrange 函数： F (r, h, ?) ? 2? rh ? 2? r 2 ? ?(? r 2 h ?1)。 ?F ? 2? h ? 4? r ? 2? rh? ? 0, 令 ? r ……(6 ?F ? 2? r ?? r 2? ? 0. ? h 分) 43 ? 4 3 ? 解得h ? 2r ，故有r ? 3 2? , h ? 3 ? . 由题意知问题的最小值必存在，当 1底面半径为r ? 3 1 2? 分) , 高为h ? 时，制作圆桶用料最省。 ……(9 设 F ( y) ? 3 y? e? x2 ydx ,计算 F ?( y) . y y2 解：由含参积分的求导公式 ? F ?( y) ? ? ? y3 e? x2 ydx ? ? ? y3 ?x2e? x2 ydx ? 3y2e? x2 y ? 2 ye? x2 y ……(5 ? ? y2 分) ? ? y2 y  x? y3  x? y2 ? ?? y3 x2e? x2 ydx ? 3y2e? y7 ? 2 ye? y5 y2 ? 7 y2e? y7 5 ye? y5 ? 1 ? y3 e? x2 ydx 。 ……(9 分) 2 2 2 y y2 ?求曲线? x2 ? ? y2 ?2 ? ? xy  所围的面积，其中常数a, b, c  ? 0 . ? a2 b2 ? c2 ?x ? a? cos?, ?解：利用坐标变换 ? y ? b? sin?. ?  由于 xy ? 0 ，则图象在第一三象限，从 ?而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。 ? ? ? ????,? ? 0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? ab sin? cos? ?? 。 ……(3 分) ??? 2 ? 则 ?(x, y) ?(x, y) ?(?,?) c2 ?? 1?? ab ? 1 ??? ? ? V ? 2 ? d ?d? ? 2 2 d? 0 ? c2 0 sin? cos? ?2 ab?d ? ……(6 分) ? a2b2 c2 ?? sin? cos? d? 20 2 ? a2b2 ……(9 分) 2c2 . 计算曲线积分 ?3zdx ? 5xdy ? 2 ydz ,其中 L 是圆柱面 x2 ? y2