数学归纳法在物理解题中的应用 .docx

数学归纳法在物理解题中的应用 贵州省黔西第一中学 在近年高考题中高频率的出现多过程问题，这类问题很多情况下可以用数学归纳法来解决，比如说一个关于自然数 n 的命题，由 n＝1 命题成立，可推知 n＝2 命题成立，继而又可推出 n＝3 命题成立……这样就形成了一个无穷的递推，从而命题对于 n＝1 的自然数都成立，下面略举几例说明这一方法的应用，供同行参考。 例 1（2018 年北京高考）雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体， 其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的；初始质量为 ，初速度 为 ，下降距离 后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为 。此后每经过同样的距离 后，雨滴均与静 止的小水珠碰撞且合并，质量依次为计空气阻力。若考虑重力的影响， 、 ．．．．．． ．．．．．．（设各质量为已知量）。不 求（1）第１次碰撞前、后雨滴的速度 和 ； （2）求第ｎ次碰撞后雨滴的动能 。 解析：（1）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g 的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒 第 1 次碰撞前 第 1 次碰撞后 ， （2）第 2 次碰撞 第 2 次碰撞后，利用（2）式得 同理，第 3 次碰撞后 ，………… 第 n 次碰撞后速度为 故第ｎ次碰撞后雨滴的动能为 例 2（2007 年全国高考）如图所示，质量为m 的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m 的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=600 的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于 450。 解析：由题意知每次碰撞都发生在最低点，且为弹性正碰设小球m 的摆线长度为L，向左为速度的正方向，第一次碰撞前后绝缘小球的速度分别 、 ，金属球的速度为 由动量守恒得： 由机械能守恒得： 且 ，解得 ， 第二次碰撞前后有，由动量守恒得： 由机械能守恒得： 联立上式解得 ， 同理可得第三次碰撞前后有， 解得 ， 由此可知………… 第 n 次碰撞后，绝缘小球的速度为 ,金属球的速度 设第一次碰前绝缘球的动能为 ，其中 第 n 次碰后绝缘球的动能为 ， 其中 ，则 得 ，因为 ， 所以 2n3,则经过 3 次碰撞后绝缘小球竖直方向的夹角小于 45° 例 3（2009 年北京高考） 如图 1 所示，ABC 为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC 段水平，AB 段与BC 段平滑连接。质量为 的小球从高位 处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道 BC 段上质量为 的小球发生碰撞，碰撞 后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球 的速度大小 ； 解析：（1）设碰撞前的速度为，根据机械能守恒定律 ① 设碰撞后 与 的速度分别为 和 ，根据动量守恒定律 ② 由于碰撞过程中无机械能损失 ③ ②、③式联立解得 ④ 将①代入得④ 碰撞过程中的能量传递规律在屋里学中有着广泛的应用。为了探究这一规律，我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的恶简化力学模型。如图 2 所示，在固定光滑水平轨 道上，质量分别为 、 、 ．．．．．． 、 ．．．．．．的若干个球沿直线静止相间排 列，给第1 个球初能 ，从而引起各球的依次碰撞。定义其中第 个球经过依次碰撞后获得的动能 与 之比为第 1 个球对第 个球的动能传递系数 。 求：（a） （b）若 、 、 为确定的已知量。求 为何值时， 值最大 解析：（a）由上问中④式，考虑到 和 得 根据动能传递系数的定义，对于 1、2 两球 ⑤ 同理可得，球 和球 碰撞后，动能传递系数 k 应为 13 ⑥ 依次类推，动能传递系数 k 应为 1n 解得 （b）．将 、 代入⑥式可得 为使 k13最大，只需使 由 可知