2020年南京大学综合评价测试数学题及解答.docx

2020年南京大学综合评价测试数学试题 共4道题，满分50分 1.（12分）已知数列满足：① ；②。 （1）求证：对且成立； （2）证明：，其中满足且。 （3）证明： 2.（12分）已知为三个内角求的最大值并给出取等条件。 3.（13分）已知正三棱锥中，底面边长为1，侧棱长是（定值），过点的动平面与分别交于点。若当周长最小时，的面积是。求的值。 4.（13分）已知是实系数4次多项式，其对，有，求 2020年南京大学综合评价测试数学试题解答 1. 解：（1）令 当时， 所以 故对且成立； （2）做归纳易证，对成立。 所以对，即 由知：中至少有一个大于1，不妨设，即 故 （3）对做归纳，时，由（2）知：，命题成立。 假设时，有， 则 即命题对成立。 故由数学归纳法原理证得。 2. 解：设所对的边分别为，设为中点，为外心。 设的外接圆半径为。 由正弦定理：，由余弦定理： 由垂径定理结合勾股定理：，由中线长公式： 故 当且仅当在线段上且时，， 此时易知：， 综上：，当此式取最大值时。 3. 解：将三棱锥沿侧棱切开，作的侧面展开图（如图），由两点之间线段最短知：当且仅当共线时周长最短。 此时设，则有 故，所以 所以，即 由对称性，且 由知：，即 令，则有： 即：，又，故。 即，故 4.解：记为（*）式，由（*）式对成立，结合，知对恒成立。 设的四个复根是（可以相同）。 设比较（*）式两边8次项系数得，下面我们分4步证明. 第一步：若有不当零的零点，则（记为命题①） 用反证法，假设，使得 则，即也是的零点。 作归纳易证，都是的零点。又 故互不相同，所以互不相同，这与仅有4个（计重数的）零点矛盾，所以命题①成立； 第二步：1不是的零点，理由如下：若，则，这与命题①矛盾； 第三步：-1，0不是的零点，理由如下： 若，则，这与矛盾； 若，则，这与矛盾； 第四步：我们证明 由命题①，结合不是的零点，知： 由实系数多项式方程虚根成对，不妨设与共轭，与共轭. 设，不妨设， 由知，即，即，所以。 同理，。故 经检验，满足（*）式，故。