2021北方希望之星数学夏令营试题解析.pdf

解析： 1、思路：由对称性，只需证明 DEFG共圆，或者DEHG共圆。 解：在本图的情况下， ∠ = ∠, ∵//， ∴ ∠ = ∠ = ∠ ∴ ∠ = ∠ ∴ 四点共圆，同理四点共圆。 ∴ ∠ +∠ = ∠ +∠ = ∠ +∠ = 180°， ∴ 共圆，同理 共圆， 故原命题得证！ （此处可能为补角，不影响共圆结论） 2 、将所有班级人数按从多到少排列，每个班都有 2a , 2a …. 2a 个人 1 2 k a ≥a ≥a ≥….≥a C 1≤i≤a （1 2 3 k），则将每个班中选出一对男女，放入一个组 （i 1） （若全选完，则不再选） C 对每一个 ，将其拆成两组，使得一组为从奇数班中选男生，从偶数班中选女i 1 生；另一组则相反。则由奇偶间隔性，每个拆成的组中男女人数差不大于 ，共 2a ≤2N 拆成了 组 。 1 故原命题得证。 3. − 2 ≥ − 2 =1 =1 2 1 − − − 2 +1 −1 − ≥ ， +1 4 3 =1 =1 令 = −+1 = 0 1 2 ≥ − +1 2 4 9 =1 =1 2 1 2 − 2 ≥ ※ +1 9 4 9 =1 令 = 1， = 0， = 1 = 0 时， 1 2 3 ， 4 9 − 1 ≥ 1 8 9 ≤ ， 16 2 1 ∴ − ＜0 9 4 9 +1 − 1 ≥− 0 ※ 不全为 时 8