二重积分的换元法.pptx

第三讲 二重积分的换元法 内容提要 1.二重积分的换元积分公式； 2.极坐标系下二重积分的计算。 教学要求 1.掌握二重积分的换元积分公式； 2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。 第1页，共23页。 复习：二重积分在直角坐标系下的计算 1. 在直角坐标系下二重积分 2.二重积分在直角坐标系下的计算： 第2页，共23页。 预备知识： 1. 如图: 第3页，共23页。 1.二重积分的换元法(1) 在直角坐标系下计算二重积分时， 必须化为四个小区域来计算， 因此，有必要学习在其他坐标系下如极坐标系下计算二重积分.这就需要进行变量代换，有如下定理. 下非常烦琐， 相当麻烦。 在某些情况 第4页，共23页。 第5页，共23页。 第6页，共23页。 第7页，共23页。 二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D 的特征，可分为以下三种情况： （1）极点 O 在区域 D 的外部 第8页，共23页。 （2）极点 O 在区域 D 的边界上 （3）极点 O 在区域 D 的内部 第9页，共23页。 计算 例1 解 第10页，共23页。 解 计算 第11页，共23页。 计算 例2 解 第12页，共23页。 解 第13页，共23页。 2. 二重积分的换元法（2） 第14页，共23页。 例1 解 第15页，共23页。 第16页，共23页。 例2 解 第17页，共23页。 第18页，共23页。 小 结 一般地，当积分区域为圆形、扇形、环形区域， 二重积分在极坐标下的计算公式 采用极坐标 计算往往比较方便. 第19页，共23页。 基本要求:变换后定限简便，求积容易． （在积分中注意使用对称性） 第20页，共23页。 思考题 第21页，共23页。 思考题解答 第22页，共23页。 第23页，共23页。