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概率论与数理统计答案与评分标准(2005.12.17 期末考试)
一、填空题(每小题 3 分,共 12 分)
1. P ? 1
2
2. 6
3. ?4.412 ,5.588 ?
??
( x ? ? )
( x ? ? ) n
0
S
??
??
? t ? ( n ? 1)?
2 ??
二、选择题(每小题 3 分,共 12 分)
1. C 2. C 3. B 4.B
三、计算题 (每小题 8 分,共 24 分)
1. 解: P ( AB ) ? P ( A) P ( B A) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.4
P ( A B ) ? P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( AB )
? 1 ? 0 .5 ? 0 .6 ? 0 .4 ? 0 .3
……2 分
……4 分
……2 分
2. 解:记 A
1
? {经过的是货车}, A
2
? {经过的是客车}, B ? {中途停车修理}
则 B ? BA
1
BA
?2
?
2 1 5
P ( B ) ? P ( A
1
) P ( B A
1
) ? P ( A
2
) P ( B A ) ?
2
? 0 .02 ?
3
? 0 .01 ?
3
300
……4 分
P ( A ) P ( B A
P ( A ) P ( B A )
1 1
P ( A
1
B ) ?
P ( B )
? 3 ?
5
300
4 ? 0 .8
5
……4 分
3. 解:(1) 由? ??
? ?
f ( x ) dx ? 1 ,
……2 分
? ?? 1
e ? x
dx ?
1 ? ??
e ? x dx ?
1 ? 2 ? ??
e ? x dx ?
1
( ? e ? x ) ? ?
1
? ? 1
? ? 2 a
2 a ? ?
2 a 0
a 0 a
得 a ? 1
1
f ( x ) ?
2
e ? x
, x ? ?? ? ,?? ?
……2 分
(2) 当 y ? 0
G ( y ) ? P ?Y ? y ? ? P ( 1 X 2
4
? y ) ? P ( ? 2
? X ? 2 y ) ? ? 2 y 1 e ? x dx
y? 2 y 2
y
……2 分
g ( y ) ? F ?( y ) ?
解法 2:用公式
? 1
y? e ? 2 y , y ? 0
y
?
?? 0 , y ? 0
?
……2 分
四、计算题(每小题 10 分,共 40 分)
?1, x ? ?0,1 ?
?1. 解: f X ( x ) ? ? 0, 其他 ,
?
……1 分
f ( y x ) ?
? 1 , y ? ?0, x ?
?? x
?
……1 分
?Y X ? 0, 其他
?
(1). f ( x , y ) ? f
X
( x ) f
Y
( y x ) ?
X
? 1 , x ? ?0,1?, y ? ?0, x ?
?? x
?
? 0,
……1 分
? 其它
?? ln y , y ? ?0,1?
f ( y ) ? ? ? ? f ( x , y ) dx ? ?
……1 分
Y ? ?
?0, 其他
f ( x , y ) ? f
X
( x ) f
Y
( y ) , X 与Y 不独立 ……1 分
(2). P ( X ? Y ? 1) ?
?? f ( x , y )d x d y
……2 分
x ? y ?1
? ?1 dx ? ? x 1 dy
……2 分
1 ? x x
2
? 1 ? ln 2 ……1 分
? ?解: (1)设 x , x , , x 是相应于样本 X , X , ,
? ?
1 2 n 1 2 n
? 1 ? n x
?L (? ) ? ?? n
?
e ? , x , x
1 2
, ? , x
均大于 0
n
……2 分
??0 , 其他
?
当 x , x
1 2
, ? , x
n
? 0 时 , ln L (? ) ? ? n ln ? ? nx
?
,似然方程为
d ln L (? )
d ?
? ? n
?
nx ? 0
? 2
……2 分
解得? 的极大似然估计为?? ? x ……2 分
(2) E (??) ? E ( X ) ? E ( X ) , ……2 分
而且 E ( X ) ? ? ? ? xf ( x )dx ? ? ? ? x 1 e
x
?? dx ? ?
?
? ? 0 ?
所以E (??) ? ? ,则
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