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06 级概率论与数理统计期末试题( 2007.12.16)
一、填空题:(每题 4 分,共 16 分)
袋中有 5 个白球和 3 个黑球,从中任取 2 个球,则取得的两球恰有一黑球的概率为 。
设随机变量 X 服从泊松分布,且 P{ X ? 1} ? P{ X ? 2} ,则 E ( X ) = 。
在区间 (0,1) 中随机的取两个 数,则这 两个数之差 的绝对值 小于为 。
X , X , , X 为来自正态总体 N (0,1) 的简单随机样本,设
1 2 6
1 的概率
2
Y ? ( X ? X
1 2
? X ) 2 3
? ( X
4
? X ? X ) 2
5 6
若使随机变量CY 服从? 2 分布,则常数C ? 。
二、选择题:(每题 4 分,共 16 分)
设 A, B 为随机事件,且 P ( B ) ? 0, P ( A | B ) ? 1 ,则必有 。
(A) P ( A ? B ) ? P ( A ) (B) P ( A ? B ) ? P ( B )
(C) P ( A ? B ) ? P ( A ) (D) P ( A ? B ) ? P ( B )
设随机变量 X 的方差为 16,根据契比雪夫不等式有 P ?X ? E ( X ) ? 10 ? 。
(A) ? 0 .16 (B) ? 0 .16 (C) ? 0 .84 (D) ? 0 .84
设随机变量 X 服从正态分布 N ( ?
1
, ? 2 ) , Y 服从正态分布 N ( ? , ?
1 2
2 ) , 且
2
P{| X ? ? |? 1} ? P{| Y ? ?
1 2
(A)? ? ?
1 2
|? 1}, 则必有 。
(B) ? ? ?
1 2
(C) ? ? ?
1 2
(D) ? ? ?
1 2
设一批零件的长度服从正态分布 N ( ? , ? 2 ) ,其中? , ? 2 均未知. 现从中随机抽
取 16 个零件,测得样本均值 x ? 20 (cm ) ,样本标准差 s ? 1(cm ) ,则? 的置信度为 0.90 的置信区间是 。
(A) (20 ?
1
t
4 0.05
(16), 20 ?
1
t
4 0.05
(16)) (B) (20 ? 1
4
t
0.1
1
(16), 20 ? t
4
0.1
(16))
(C) (20 ? 1
4
t
0.05
(15), 20 ?
1
t
4 0.05
(15))
(D) (20 ?
1
t
4 0.1
(15), 20 ?
1
t
4 0.1
(15))
三、计算题:(每题 8 分,共 24 分)
3已知 P ?A ? ? 1
3
, P ( B A ) ? 1
, P ?A B ?? 1
,试求:
??4 2
?
?
A B(1) P ?AB ?; (2) P 。
A B
某仪器装有三支独立工作的同型号电子元件,其寿命 X (单位为小时)都服从同一指数分布,概率密度为
? 1 ? x
f ( x ) ?
? e
? 600
600
, x ? 0 ,
?? 0, x ? 0
?
求:(1) P{ X ? 200} ;
(2)在仪器使用的最初 200 小时内,至少有一支电子元件损坏的概率。
设随机变量 X 的概率密度为
( ,? e ? x , x ?
( ,
f x ) ? ?
X ? 0, x ? 0
求:(1) P{? 1 ? X ? 2} ; (2)随机变量Y ? e X 的概率密度 f
Y
四、计算题:(每题 9 分,共 27 分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
( y ) 。
求:(1)A;
? A ,
f ( x , y ) ? ?
? 0,
0 ? x ? 1,
其他
0 ? y ? 2 x ,
(2)(X,Y)的边缘概率密度 f
X
( x ) ;
(3) f
Y X
( y x ) 。
设 随 机 变 量 X , Y 相 互 独 立 , 且 都 服 从 正 态 分 布 N ( ? , ? 2 ) , 又
Z ? aX ? bY , Z
1 2
? aX ? bY ,求:
E ( Z
1
), E ( Z
2
), D ( Z
1
), D ( Z ) ;
2
Z , Z 的相关系数;
1 2
(2)当 Z , Z 相互独立时,求( Z , Z
1 2 1 2
) 的联合密度函数。
设总体 X 的密度函数为
?( a ? 1) xa , 0 ? x ? 1
f ( x ) ? ? ,
? 0 , 其它
其中a ? ? 1 是未知参数,( X
1
,. .. , X
)是一个来自总体 X
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