第六系统的稳定性.ppt

故开环传递函数为 而闭环特征方程可表示为 （6－16） （6－18） （6－17） （6－19） 其中G(s)，H(s)都是复数s的函数，可分别表示为如下多项式之比： 特征函数 可表达为： 第三十页，共六十六页，2022年，8月28日 式（6－17）中分母、分子的阶次分别为n和m，因为G(s)和H(s)均为物理可实现的环节，所以 ，故特征函数A(s)分子分母的阶次均为n，比较（6－17）、（6－18）和（6－19），可得如下结论： 闭环特征方程的根与特征函数的零点完全相同； 特征函数的极点与开环传递函数的极点完全相同； 特征函数的零点数与其极点数相同（等于n）。 因为系统开环传递函数及其极点已知，根据式（6－18），可以通过对开环传递函数G(s)H(s)和特征函数 的频率特性分析，确定特征函数的零点（即闭环特征方程根）的分布，从而判别系统的稳定性，这就是奈奎斯特稳定性判据的基本原理。 第三十一页，共六十六页，2022年，8月28日 （2）幅角原理 奈奎斯特判据的数学基础是复变函数理论中的幅角原理，由前面特征函数零、极点与开环极点的关系，利用幅角原理，可以得到特征函数零点分布与开环极点分布及开环幅角变化的关系。 将(6-18)分解因式得： （6－20） （6－18） （6－21） （6－22） 第三十二页，共六十六页，2022年，8月28日 将(6-21)和(6-22)代入(6-20)得 (6-23) 第三十三页，共六十六页，2022年，8月28日 (6-24) 第三十四页，共六十六页，2022年，8月28日 (6-25) 第三十五页，共六十六页，2022年，8月28日 下面以右图为例说明如何确定N： 由式6－25可知，在[A(s)]平面上，过原点任作一条直线OC，观察A(s)形成的矢端曲线GA以不同方向通过OC直线次数的差值来定N，顺时针通过为负，逆时针通过为正。 (a) N=－2; (b) N=0; (c) N=－3; (d) N=0; (6-25) 第三十六页，共六十六页，2022年，8月28日 （3）奈奎斯特判据 判别系统的稳定性就是判别闭环特征方程在s平面右半平面根的个数，即特征函数A(s)在右半平面的零点数。 (6-26) 第三十七页，共六十六页，2022年，8月28日 （4）开环传递函数与奈奎斯特判据 (6-27) 我们可以通过坐标平移，由1+G(s)H(s)平面即[A(s)]平面变换到GH平面（G(s)H(s)的简写），即由1+G(s)H(s)=0变换为： 如图所示，在1+G(s)H(s)平面上绕原点逆时针旋转的圈数，相当于在GH平面上绕（－1,j0）点逆时针旋转的圈数。 这样我们就可以用系统的开环传递函数G(s)H(s)来判别系统的稳定性。 第三十八页，共六十六页，2022年，8月28日 （4）开环传递函数与奈奎斯特判据 当在s平面上的点沿虚轴及包围右半平面之无穷大半圆Gs曲线顺时针旋转一周时，在GH平面上所画的开环传递函数G(s)H(s)的轨迹叫做奈奎斯特曲线。 第三十九页，共六十六页，2022年，8月28日 （4）开环传递函数与奈奎斯特判据 综上所述，用奈奎斯特法判别系统稳定性，一个系统稳定的必要和充分条件是： z=p－N=0 式中：z为闭环特征方程在s右半平面的特征根数； p为开环传递函数在s右半平面（不包括原点）的极点数； N为自变量s沿包含虚轴及整个右半平面在内的极大的封闭曲线顺时针转一圈时，开环奈奎斯特图绕（－1,j0）点逆时针转的圈数； 当p＝0，即开环无极点在s右半平面，则系统稳定的必要和充分条件是开环奈奎斯特图不包围（－1,j0）点，即N＝0。 第四十页，共六十六页，2022年，8月28日 （4）开环传递函数与奈奎斯特判据 如果特征方程式为： 其中 即为式4－56所示的典型表达形式 ，K为开环增益。将 中的K分离出来则有： 即可通过 的奈奎斯特图绕 点转的圈数和极点数来判别系统的稳定性。 第四十一页，共六十六页，2022年，8月28日 对于G(s)H(s)在原点或虚轴上有极点的情况，应使s沿着绕过这些极点的极小半圆变化，如图(a)所示。这个小半圆的半径为 ，通常是在s平面的右半侧绕过这些极点，这样原点和虚轴上的极点就不包括在内。以原点处的极点为例，当s沿着虚轴从