指数成长与衰减.ppt

歐亞書局 指数成长与衰减 第一页，共三十五页，2022年，8月28日 5.6 指數成長與衰減 學習目標 以指數成長與衰減作為實際生活的模型。 P.5-38 第五章　指數與對數函數 第二页，共三十五页，2022年，8月28日 指數成長與衰減 本節將學習如何去建立指數成長與衰減的模型。實際生活中牽涉到指數成長與衰減的狀況就是物質或人口數量，即在任一時間 t的變化率正比於當時的物質數量。譬如，放射性物質的衰減率是正比於當時放射性物質的數量。這種關係可以最簡單的形式來表示，如以下的方程式。 P.5-38 第五章　指數與對數函數 第三页，共三十五页，2022年，8月28日 指數成長與衰減 P.5-38 第五章　指數與對數函數 在上式中 k 為常數，而 y 為 t 的函數，下面即為此方程式的解。 第四页，共三十五页，2022年，8月28日 指數成長與衰減（證明） P.5-38 第五章　指數與對數函數 因為 y 的變化量與 y 成正比，所以 顯然 y ＝ Cekt 為方程式的解，因為對 y 微分可得 dy/dt ＝ kCekt ，再代入方程式也得 第五页，共三十五页，2022年，8月28日 學習提示 在模型 y ＝ Cekt 中，C 稱為起始值，因為當 t ＝ 0 時，y ＝ Cek(0) ＝ C(1) ＝ C。 P.5-38 第五章　指數與對數函數 第六页，共三十五页，2022年，8月28日 應用 放射性物質的衰減是以半衰期 (half-life) 來測量，即放射性物質樣本中原子數減半所需的時間。常見放射性同位素的半衰期如下所列 鈾 (238 U) 4,470,000,000 年 鈽 (239 Pu) 24,100 年 碳 (14 C) 5,715 年 鐳 (226 Ra) 　　　 1,599 年 鑀 (254 Es) 276 天 鍩 (257 No) 25 秒 P.5-39 第五章　指數與對數函數 第七页，共三十五页，2022年，8月28日 範例 1　放射性物質衰減的模型 某樣本中有 1 公克的鐳，試問 1000 年後的鐳殘留物是否多於 0.5 公克？ P.5-39 第五章　指數與對數函數 第八页，共三十五页，2022年，8月28日 範例 1　放射性物質衰減的模型 （解） 令 y 表示在樣本中的鐳物質 (公克)。因為衰減率正比於 y，所以應用指數衰減律可知 y 的形式為 y ＝ Cekt，其中 t 為時間(年) 。已知當 t ＝ 0 時 y ＝ 1，代入模型可得 1 ＝ Cek(0) 以 1 代入 y，0 代入 t 因此 C ＝ 1。因為鐳的半衰期為 1599 年，所以當 t ＝ 1599 時y ＝ 1/2，再代入模型即可解得 k。 P.5-39 第五章　指數與對數函數 第九页，共三十五页，2022年，8月28日 範例 1　放射性物質衰減的模型 （解） 所以 k ≈－0.0004335，故指數衰減模型為 y ＝ e－0.0004335t。 若要求1000 年後的鐳殘留量，將 t ＝ 1000 代入模型，經計算可得 y ＝ e－0.0004335(1000) ≈ 0.648 公克 即，1000 後仍有超過 0.5 公克的鐳，此模型的圖形如圖 5.18 所示。 P.5-39 第五章　指數與對數函數 第十页，共三十五页，2022年，8月28日 範例 1　放射性物質衰減的模型 （解） P.5-39 圖5.18 第五章　指數與對數函數 第十一页，共三十五页，2022年，8月28日 檢查站 1 以範例 1 的模型來計算 1 公克樣本的鐳衰減為 0.4 公克時所需的時間。 P.5-39 第五章　指數與對數函數 第十二页，共三十五页，2022年，8月28日 應用 請注意，不必像範例 1 使用近似的 k 值，直接在模型中代入 k的正確值可得 這個公式清楚地顯示「半衰期」：當 t ＝ 1599，y 值為 1/2，當t ＝ 2(1599)，y 值為 ，以此類推。 P.5-39 第五章　指數與對數函數 第十三页，共三十五页，2022年，8月28日 應用 P.5-40 第五章　指數與對數函數 第十四页，共三十五页，2022年，8月28日 範例 2　數量成長的模型 研究指出，果蠅數量的增加是服從指數成長模型。兩天後有 100隻，四天後有 300 隻果蠅，則 5 天後有幾隻果蠅？ P.5-40 第五章　指數與對數函數 第十五页，共三十五页，2022年，8月28日 範例 2　數量成長的模型 （解） 令 y 為果蠅在時間 t 的數量。已知當 t ＝ 2 時，y ＝ 100 和當t ＝ 4 時，y ＝ 300，代入模型 y ＝ Cekt 得 100 ＝ C