考研数学线性代数强化习题_相似及相似对角化.docx

WORD WORD 格式.可编辑 技术资料分享 技术资料分享 2017 考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-相似与相似对角化知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1 对 1 等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考 生了解咨询。 模块九 相似与相似对角化 Ⅰ经典习题 一．相似矩阵 1、下列矩阵中， A 和 B 相似的是（ ） ? 2 0 1 ? ? 2 0 0 ? ? 1 2 0 ? ? 2 1 ?1? （A） A ? ? 0 0 0 ? , B ? ? 0 0 1 ? （B） A ? ? 2 3 1 ?, B ? ? 1 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 0 0 0 ? ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 1 ? ? 2 0 3 ? ? 2 0 0 ? ? 1 0 0 ? A ? ? 0 0 0 ? , B ? ? 0 0 0 ? A ? ? 0 2 0 ?, B ? ? 0 3 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ? ? 0 0 0 ? ? 0 0 ?3? ? 0 0 ?3? （C） ? ? ? ? （D） ? ? ? ? 2、设 A, B 均为 n 阶矩阵， A 可逆且A~B，则下列命题中 ①AB~BA ②A2~B2 ③AT~BT ④A?1~B?1 正确的有（ ）个. （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 二．相似对角化的条件 3、下列矩阵中，不能相似对角化的是（ ） ? 1 0 ?1? ? ?1 0 0 ? ?? ? 0 2 3 ? ? 3 2 0 ? ??? ? ? ??? ?1 3 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 ?1? ? 2 2 3 ? ? 2 0 ?2 ? ? 0 2 3 ? ? ? ? ? ? ?3 0 3 ? ? 0 0 ?1? ? ? （D） ? ? 4、已知三阶矩阵 A 的特征值为 0, ?1 ，则下列结论中不正确的是（ ） 矩阵 A 是不可逆的 矩阵 A 的主对角元素之和为0 1和 ?1所对应的特征向量正交 Ax ? 0 的基础解系由一个向量构成 5、设 A、B为n 阶方阵，且对 ??, 有 | ?E ? A |?| ?E ? B |，则（ ） （A） | ?E ? A |?| ?E ? B | （B） A与B 相似 （C） A与B 合同 （D） A、B 同时可相似对角化或不可相似对角化 6、设 A 为 n 阶方阵，满足 A2 ? A ，证明：（1） r ?A ? E ?? r ?A?? n ；（2）矩阵 A 可以相似对角化. 7 、设 A 为三阶方阵， ? ,? ,? 1 2 3 为三维线性无关列向量组， 且有 A? 1 ? ? ?? ， 2 3 A? ? ? 2 3 ?? , A? 1 3 ? ? ?? . 1 2 求 A 的全部特征值； A 是否可对角化？ 8、已知三阶矩阵 A 的特征值为 0,1,2 ，设 B ? A3 ? 2A2 , 则r(B) ? （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）不能确定 三．相似对角化中 P 与? 的计算 ?? 2 ? 9、已知 P?1 AP ? ? 0 0? 0 ? 0 0 ? ??6 0 ?, ? ? ? 61 6 0 ?  是矩阵 A 属于特征值 ? ? 2 的特征向量，? ,? 2 3  是矩阵 A 属于特征值 ? ? 6 的特征向量，那么矩阵 P 不能是（ ） （A） ?? 1 , ?? ,? 2 3 ? （B） ?? ,? 1 2 ?? ,? 3 2 ? 2? ? 3 1（C） ?? 1 ,? ,? 3 2 ? （D） ?? ?? ,? 2 1 ?? ,? ? 2 3 1i i 1 2 310、已知 A? ? i? (i ? 1,2,3) ，其中? ? (1,2, 2)T ,? ? (2, ?2,1)T ,? ? (?2, ?1,2)T 1 i i 1 2 3 A ???. ?2 0 0? ?2 0 0 ? 11、已知矩阵 A ? ?0 0 1? 与 B ? ?0 y 0 ? 相似: ? ? ? ? ??0 1 x?? ??0 0 ?1?? （1）求 x 与 y ；（2）求一个满足 P?1 AP ? B 的可逆矩阵 P 12、设矩阵 ? 3 ?A ? ??k ? ?? 4 2 ?2? ??1 k ? ? 2 ?3?? .问当 k 为何值时,存在可逆矩阵 P ,使得 P?1 AP 为对角矩阵? 并求出 P