解三角形易错题解析.docx

- - PAGE 1 -- 1 - 易错题解析 例题 1 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a 2 ? b2 c2 ，求A 的取值范围。 错解：∵ a 2 ? b2 ? c2 ，∴b2 c2 a 2 ? 0 。则 b2 ? c2 ? a 22bccos A ? ? 0 ，由于cosA 在（0°，180°）上为减函数且cos90 b2 ? c2 ? a 2 2bc 又∵A 为△ABC 的内角，∴0°＜A＜90°。 辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a 为最大边，而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。 正解：由上面的解法，可得A＜90°。 又∵a 为最大边，∴A＞60°。因此得A 的取值范围是（60°，90°）。 b2tan A b2 tan A tan B 例题 2 在△ABC 中，若  ? ，试判断△ABC 的形状。 tan Atan tan A tan B sin2 A sin2 B 即 ? · ，∵ sin A ? 0， sin B ? 0 sin Acos Asin2 Asin2 Bcos Bsin B∴ sin A cos A ? sin sin A cos A sin2 A sin2 B cos B sin B ∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC 是等腰三角形。 辨析：由sin 2 A ? sin 2B ，得 2A＝2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。正解：同上得sin 2 A ? sin 2B ，∴2A＝ 2k? ? 2B 或2 A ? 2k? ? ? ? 2B(k ? Z ) 。 2∵ 0 ? A ? ?，0 ? b ? ?，∴k ? 0，则A ? B 或 A ? ? 2 B 。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 3a ? b ? csin A 3 a ? b ? c sin A ? sin B ? sin C △ABC  的值。 错解：∵A＝60°，b＝1， S ? △ABC ，又 S ? △ABC bc sin A ， 312312∴ ? c sin 60° ，解得 3 1 2 3 1 2 b2 ? c2 ? 2bc cos b2 ? c2 ? 2bc cos A 1 ? 16 ? 8 cos60° 13 3 2 39 13 ? 1 ? 4 2 3 ? 3 2 39 ? 6 39 a ? b ? c sin A ? sin B ? sin C 639又由正弦定理，得sin C 6 39 ， sin B ? 。 ∴ ? 。 辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解：由已知可得c ? 4，a ?  13a ? 13 a ? b ? c sin A ? sin B ? sin C 2 39 3 sin A13 sin A 13 sin 60° 2 39 3 2R ? ? ? 。 ∴  ? 2R ? 。 62例题 4 在△ABC 中， c ? ? ，C＝30°，求a＋b 的最大值。 6 2 6 6 ? 2 sin 30° sin A sin A sin(150° ? A) 由正弦定理，得 ?  ? ∴a ? 2(  62 ) sin A ， 6 666b ? 2( ? 2 ) sin(150° ? A) 6 6 6 6又∵ sin A ? 1， sin(150° ? A) ? 1 ∴ a ? b ? 2( 6 ? 2 ) ? 2( ? 2 ) ? 4( ? 2 ) 。 6故a ? b 的最大值为4( 6 ? 2 ) 。 辨析：错因是未弄清A 与 150°－A 之间的关系。这里A 与 150°－A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与 sin(150°－A)不能同时取最大值 1，因此所得的结果也是错误的。 正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。 sin Asin(150 sin A sin(150° ? A) 6 ? 2 sin 30° 由正弦定理，得 ? ? 6因此a ? b ? 2( ? 2 )[sin A ? sin(150° ? A)] 6 6? 2( ? 2)·sin 75°cos( A ? 75°) 6 6? 4( 6 ? 2) 6 ? 2·cos( A ? 75°) 4 3? (8 ? 4 3)cos( A ? 75°) ? 8 ? 4 3 3∴a＋b 的最大值为8 ? 4 。 3 23例题 5 在△ABC 中，已知a＝2，b＝ 2 2 3 ，C＝15°，求A。 错解：由余弦定理，得c2 ? a 2 b2 ? 2ab cos15° ? 4 ? 8 ? 2×2×2 2× 6 ? 6 ? 2