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解三角形知识点小结
一、知识梳理
内角和定理:
在 ?ABC 中, A ? B ? C ? ? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ?cos C
sin A ? sin B ? A ? B , cos A ? cos B ? A ? B ( y ? cos x 在上单调递减)
S ? 1 ab sin C ?
1 bc sin A ?
1 ac sin B
面积公式:
?ABC
2 2 2
a ? b ? c
p ?
设 2
则 S ?
p( p
p( p ? a)( p ? b)( p ? c)
正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
a ? b ? c
? 2R
形式一: sin A sin B sin C
??a ? 2R sin A
?
?b ? 2R sin B
?c ? 2R sin C
(解三角形的重要工具)
形式二: ? (边化正弦)
形式三: a : b : c ? sin A : sin B : sin C (比的性质)
sin A ?
a ,sin B ? b ,sin C ? c
形式四:
2R 2R 2R (正弦化边)
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一: a2
? b2 ? c2 ? 2bc cos A
b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B (遇见二次想余弦)
c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C
形式二:
b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2
cos A ? cos B ? cos C ?
二、方法归纳
2bc ,
2ac ,
2ab
a b c
(1)已知两角 A、B 与一边 a,由 A+B+C=π及
已知两边及一角,用余弦定理。
已知三边,用余弦定理。
求角度,用余弦。
三、经典例题
sin A ? sin B ? sin C
,可求出角C,再求b、c.
问题一:利用正弦定理解三角形
,【例 1】在?ABC 中,若b ? 5 , ?B ? ?
,
4
sin A ? 1 ,则a ? .
3
3【例 2】在△ABC 中,已知 a=
3
,b=
,B=45°,求 A、C 和 c.
2问题二:利用余弦定理解三角形
2
【例 3】设?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c .已知a ? 1 , b ? 2 , cos C ? 1 .
4
(Ⅰ)求?ABC 的周长,(Ⅱ)求cos?A ? C ?的值.
【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
sin ?? ? ? ?? sin? cos ? ? cos? sin ? ?令?? ??? ?sin 2? ? 2sin ? cos?
cos ?? ? ? ?? cos? cos ? m sin? sin ? ?令?? ??? ?cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ?
? ? 2cos 2 ? ?1 ? 1? 2sin 2 ?
tan ?? ? ? ??
tan? ? tan ?
? cos2 ?
1+cos2?
1m tan? tan ?
=
2
1? cos2?
? sin2 ?=
2
tan 2? ?
2 tan? 1? tan2 ?
【例 4】(2010 重庆文数)设?ABC 的内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c,且 3+3-3=4bc .
2sin( A ? ? )sin( B ? C ? ? )
(Ⅰ) 求 sinA 的值;(Ⅱ)求
4 4 的值.
21? cos 2 A
2
若条件改为: 3sin 2 B ? 3sin 2 C ? 3sin 2
A ? 4
sin B sin C
2 .在△ABC 中,a、b、c 分别是角A,B,C 的对边,且cos B =- b .
cos C 2a ? c
13求角B 的大小;(2)若 b= ,a+c=4,求△ABC 的面积.
13
问题三:正弦定理余弦定理综合应用
【例 5】(2011 山东文数)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知 cos A-2cos C = 2c-a .
cos B b
sin C 1
(I)求 的值;(II)若 cosB=
, V ABC的周长为5,求b的长.
sin A 4
【注】“边化正弦,正弦化边”“余弦直接代入”
a cos C ? 1 c ? b
考虑以下式子:
2 , (2a ? c)cos B ? b cos C , (2a ? c)cos b ? b cos C ? 0
【例 6】(2009 全国卷Ⅰ理)在?ABC 中,内
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