考研概率试题03-08答案.docx

PAGE PAGE 45 2003-2008 概率论与数理统计考研真题解答 2003 年概率论与数理统计试题解答 数学一 一、填空题 5. 1 ； 6. (39.51,40.49) 4 二、选择题 14. C. 十一 、(1) X 的可能取值为 0，1，2，3，X 的概率分布为 ? ? 3 3 Ck C 3?kP{X k} ， k=0，1 ? ? 3 3 C 3 6 即 X 0 1 2 3 1 9 9 1 P 20 20 20 20 因此 EX ? 0 ? 1 ? 1? 9 ? 2 ? 9 ? 3 ? 1 ? 3 . 20 20 20 20 2 (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于{X ? 0}，{X ? 1} ，{X ? 2}， {X ? 3} 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 P( A) ? ?3 k ?0 P{X ? k}P{A X ? k} = ?3 P{X ? k}? k ? 1 ?3 kP{X ? k}= 1 EX ? 1 ? 3 ? 1 . k ?0 6 6 k ?0 6 6 2 4 ?1 ? e?2( x??) , x ? ?, 十二 、(1) F (x) ? ? x ?? f (t)dt ? ? ? 0, x ? ?. (2) F ?? (x) ? P{?? ? x} ? P{min(X , X , , X ) ? x} ?1 2 n ? ?=1 ? P{min(X , X ? 1 , , X ?2 n ? ) ? x} =1 ? P{X 1 x, X 2 x, , X n x} ?1 ? e?2n( x??) , x ? ?, =1 ? [1 ? F (x)]n = ? ? 0, x ? ?. ?dF (x) ?2ne?2n( x?? ) , x ? ?, ? ? (3) ? 概率密度为 f ?? (x) ? ? ? ? dx ? 0, x ? ?. 因为 E?? ? ??? xf ?? ?? (x)dx ? ??? 2nxe?2n( x?? ) dx =? ? 1 ? ? ， ? 2n 所以?? 作为? 的估计量不具有无偏性. 一、填空题  数学三 1 5. 0.9； 6. 2 . 二、选择题 14. C. 3 x十一、当 x1 时， F ( X ) =0； 当 x8 时， F ( X ) 3 x 对于 x ?[1,8] ，有 F (x) ? ? x 1 dt ? ?1. 1 33 t 2 设 G(y)是随机变量Y ? F ( X ) 的分布函数. 显然，当 y ? 0 时，G(y)=0；当 y ? 1时，G(y)=1. 对于 y ?[0,1) ，有 G( y) ? P{Y ? y} ? P{F ( X ) ? y}= P{3 X ?1 ? y} ? P{X ? ( y ? 1)3 }= F[( y ? 1)3 ] ? y. ?0, 若y ? 0, ?于是， Y ? F ( X ) 的分布函数为 G( y) ? ? y, 若0 ? y ? 1, ? ??1, 若y ? 1. ? 【评注】 事实上，本题 X 为任意连续型随机变量均可，此时Y ? F ( X ) 仍服从均匀分布: 当 y 0 时，G(y)=0； 当 y ? 1时，G(y)=1； 当 0 ? y ? 1 时， G( y) ? P{Y ? y} ? P{F ( X ) ? y}= P{X ? F ?1 ( y)} = F (F ?1 ( y)) ? y. 十二、设 F ( y) 是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知U ? X ? Y 的分布函数为 G(u) ? P{X ? Y ? u}= 0.3P{X ? Y ? uX ? 1} ? 0.7P{X ? Y ? uX ? 2} = 0.3P{Y ? u ?1X ? 1} ? 0.7P{Y ? u ? 2X ? 2}. 由于 X 与 Y 独立， G(u) = 0.3P{Y ? u ? 1} ? 0.7P{Y ? u ? 2}= 0.3F (u ? 1) ? 0.7F (u ? 2). 由此，得 U 的概率密度 g (u) ? G?(u) ? 0.3F ?(u ? 1) ? 0.7F ?(u ? 2) = 0.3 f (u ? 1) ? 0.7 f (u ? 2). 数学四 一、填空题 6. 6. 二、选择题 13. B； 14.C. 十一、同数学三的十一题解答. 十二、证明：(1) 由? 的定义，可见? ? 0 当且仅当 P( AB) ? P( A)P(B) =0 而这恰好是二事件 A 和 B 独立的定义，即? ? 0 是 A 和 B 独立的充分必要条件. 考虑随机变量 X 和 Y : X