晶体中电子能带理论.pptxVIP

晶体中电子能带理论第1页/共65页第2页/共65页5.1 布洛赫定理一、能带理论的基本假设（3个近似） 实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系，但晶体性能主要和外层电子有关，把内层电子和原子核看成一个离子实，那么晶体就是由离子实和外层电子组成的系统。第3页/共65页 假定晶体体积 ， 含有N个带正电荷Ze的离子实，Z为单原子的价电子数目，因而，晶体中有NZ个价电子。即：N个离子实，每个离子实带正电荷Ze，其位矢用 表示；NZ个价电子，简称为电子，其位矢用 表示。NZ个电子的动能和库仑势 N个离子实的动能和库仑势 电子和离子实之间的库仑势 则系统的哈密顿为：第4页/共65页则体系的薛定谔方程这是一个NZ+N的多体问题。绝热近似（多体问题?多电子问题） 由于电子质量远小于离子实的质量，电子速度远大于离子实的速度，可认为离子实固定在瞬时的位置上，只关注电子体系的运动，这种近似为绝热近似。此时电子系统的薛定谔方程第5页/共65页2. 单电子近似（平均场近似）（多电子问题?单电子问题） 多电子问题中任何一个电子的运动不仅与自己的位置有关，还与其他电子的位置有关，即所有电子都是关联的，不能精确求解。 为此，用平均场代替价电子的相互作用，即假定每个电子的库仑势相等，仅与该电子位置有关，而与其他电子位置无关。第6页/共65页此时体系的哈密顿取Z=1，这样总的 为N个单电子H之和，多电子问题?单电子问题，每个电子第7页/共65页3. 周期场近似令假设它具有与晶格同样的晶格对称性，即对 （平移矢量）而言，有总结：采用3种近似后，晶体中单电子状态描述第8页/共65页且二、布洛赫定理定理描述：对于周期性势场 为任意格矢，单电子s. 方程：的本征函数是按布拉非格子周期性调幅的平面波，即对 取布拉非格子的所有格矢都成立。推论：Bloch定理也可以表述为对于上述s.方程的每一个本征解，存在一个波矢 ，使 对于任意格矢 都成立。第9页/共65页证明：第10页/共65页2. 定理证明1）引入平移对称算符定义： 将 作用于任意函数使 平移 ，则单电子的周期性势场满足性质①证明：第11页/共65页 它们有共同本征函数证明：第12页/共65页2）定理证明：设 和 的共同的本征函数说明：所以 和 都是 的属于E的本征函数。第13页/共65页归一化条件：第14页/共65页上式只有当 和 成线性关系才成立，取则可验证平面波 满足此式，所以 有波矢的含义，当 增加倒格矢 时，平面波 也满足上式，因此电子波函数应是这些平面波的线性叠加。 周期性。所以电子的波函数是周期性调幅的平面波。第15页/共65页第16页/共65页说明：1） 说明晶格周期场中的电子在各原胞对应点出现几率相同，电子可以看成在整个晶体中自由运动，平面波因子描述晶体中的电子的共有化运动 ，而周期函数因子描述电子在原胞中运动（取决于原胞中电子势场）以上为布洛赫波函数的物理意义。2）对于一维晶格，布洛赫定理为第17页/共65页 上的原胞数目3. 波矢的取值范围设布拉非原胞格子基矢 分别为 ，总原胞数 ，周期性边界条件： 代入布洛赫定理的推论第18页/共65页 可看成倒格子空间中以为基矢的布拉非格子的格矢，它的取值范围： 一个倒格子原胞空间中。每个k占据体积：电子的波矢密度： ，一个倒格子原胞中含有波矢数： （晶体原胞数）第19页/共65页 例1：一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫定理，若晶格常量为a，电子波函数为, f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢。 解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：令m-n=l，第20页/共65页据布洛赫定理，即取在简约布里渊区中，即第21页/共65页4. 布里渊区1）定义：在波矢空间中，从原点出发做各倒格矢的垂直平分面（线），这些面围绕原点构成一层层的多面体（多边形），把最内层的多面体叫第一布里渊区（简约布里渊区，中心布里渊区），第二层多面体为第二布里渊区，依次类推。布里渊区的边界上的波矢满足：第22页/共65页2）性质第一布里渊区体积等于倒格子原胞体积。各布里渊区体积相等。布里渊区的形状和晶体结构有关。第23页/共65页3）举例：二维正方格子正格子原胞基矢倒格子原胞基矢 倒格矢 倒格子空间离原点最近的倒格点有4个，相应的倒格矢为