病态线性方程组的求解.doc

《科学与工程计算》实验报告 学 号： 姓 名： 一、实验内容： 考虑方程组Hx=b的求解，其中系数矩阵H为Hilbert矩阵， 这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b的办法给出确定的问题。 实验要求： （1）选择问题的维数为6，分别用Jacobi迭代法、GS迭代法和SOR迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？ （2）逐步增大问题的维数，仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？ （3）讨论病态问题求解的算法。 二、程序设计的基本思想、原理和算法描述： 算法 Jacobi迭代法 若A为稀疏矩阵，只需遍历非零元素 GS迭代法 若A为稀疏矩阵，只需遍历非零元素 每步迭代计算量相当于一次矩阵与向量的乘法；不需要保留上一步的迭代解，与Jacobi迭代法计算量一样。 SOR迭代法（稠密矩阵） 函数组成 double max(double array[100]) 求数组中的最大值函数 输入/输出设计 对于方程组Hx=b的求解，系数矩阵H为Hilbert矩阵，矩阵中的数由下列函数生成。 X*取一个特解[1,1,1,……,1] b数组由矩阵的每行元素相加得来。 4、符号名说明 double c[100] 用来存储第k+1次和第k次迭代结果的差值的绝对值 double x[100] 第k+1次迭代结果，储存解数组 double x0[100] 初始向量 double r 第k+1次和第k次迭代结果的差值的绝对值的最大值 double sum 矩阵方程变换后右侧值的和 int k 迭代次数 double a[100][100] 存储Hilbert矩阵 double b[100] 存储b向量 三、源程序及注释： Jacobi迭代法 #includeiostream #includemath.h #include iomanip #include stdio.h using namespace std; int n; double max(double array[100])//求最大值函数 { double a=array[0]; int i; for(i=1; in; i++) { if(aarray[i]) a=array[i]; return a; } } double c[100]= {0.0}; double x[100]= {0.0}; //第k+1次迭代结果，储存解数组 double x0[100]= {0.0}; //初始向量 double r,sum=0; int main() { double s=0; int i,k,j;//k为迭代次数 double a[100][100]; double b[100]= {0.0}; cout请输入维数：endl; cinn; cout输出a数组：endl; double max(double array[100]); for(i=0; in; i++) { for(j=0; jn; j++) { a[i][j]=1.0/(i+j+1); printf(%10.6lf ,a[i][j]);//矩阵中的数精确到六位 } coutendl; } cout输出b数组：endl; for(i=0; in; i++) { for(j=0; jn; j++) { b[i]+=a[i][j];//矩阵每行的和 } coutb[i] ; } coutendl; cout输入精度：endl; cins; for(k=1;; k++) { for(i=0; in; i++) { for(j=0; jn; j++) { sum=a[i][j]*x0[j]+sum; }