光纤光学的基本方程.pptx

第二章 光纤光学的基本方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程程函方程与射线方程波导场方程模式及其基本性质第1页，共48页。波动光学理论用几何光学方法虽然可简单直观地得到光线在光纤中传输的物理图象，但由于忽略了光的波动性质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布及其它许多特性。采用波动光学的方法，把光作为电磁波来处理，研究电磁波在光纤中的传输规律，可得到光纤中的传播模式、场结构、传输常数及截止条件。第2页，共48页。2.1 麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程1．电磁场的基本方程式2．电磁波的波动现象3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程第3页，共48页。1．电磁场的基本方程式麦克斯韦方程式的微分形式 时变磁场可以产生时变电场时变电场可以产生时变磁场磁场是无源的电场是有源的光纤中不存在电流和自由电荷，则有：第4页，共48页。2．电磁波的波动现象电场和磁场之间就这样互相激发，互相支持。光在光导纤维中的传播，正是电磁波的一种传播现象。在光纤中传播的电磁场满足边界条件：磁场与电场的切向和法向分量均连续，即： 第5页，共48页。3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程为标量波动方程设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离时空坐标，得到的波动方程就称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程。推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、均匀、各向同性而且电磁场是简谐的。 第6页，共48页。3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程光在光波导中传播应满足的亥姆霍兹方程式： 其中k＝k0n为折射率为n的介质中的传播常数（也叫波数）。k0为真空中的波数。亥姆霍兹方程+边界条件可求出波导中光波场的场分布。书P3（1.2-8）式第7页，共48页。用波动理论研究光纤中的电磁波行为，通常有两种解法：矢量解法标量解法。矢量解法是一种严格的传统解法，求满足边界条件的波动方程的解。标量解法是将光纤中传输的电磁波近似看成是与光纤轴线平行的，在此基础上推导出光纤中的场方程、特征方程并在此基础上分析标量模的特性。 第8页，共48页。2.2 程函方程与射线方程光线理论：当光线在传播过程中可以不考虑波长的有限大小（即衍射现象），则能量可以看作沿一定曲线传播，电磁波的传播可以近似为平面波。方法：确定光线路径，计算相关联的强度和偏振：程函方程射线方程目的：得到任意光波导中的光线轨迹第9页，共48页。1、 程函方程光程：波面走过的几何路径与折射率的乘积。平面波在任意方向传输的波函数：相位因子波函数略去时间因子同理：第10页，共48页。由麦克斯韦方程推导程函方程:由：等式左边：第11页，共48页。（2.2a）（2.2b）（2.2c）（2.2d）E相位梯度H由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：三个矢量正交，相位梯度与波面法线方向一致。第12页，共48页。利用光线理论的几何光学近似条件：将（2.2a）代入（2.2b）得到利用矢量恒等式得到第13页，共48页。即或或相位梯度 方向与光波传播方向一致，其模等于介质折射率；程函方程给出波面变化规律：在均匀介质中，光波传输方向不变；在非均匀介质中，光波传输方向随折射率变；若已知折射率分布，则可求出程函方程，从而根据等相面确定光线轨迹。程函方程第14页，共48页。（2.3)因此2、射线方程r ：光线传播路径S上某点的矢径dr/ds:传播路径切线方向上单位矢量,根据相位梯度的定义，矢量dr/ds方向与相位梯度方向一致，大小等于：由程函方程相位梯度等于路径切线方向上的单位光程第15页，共48页。上式对路径 S 求导等式右边：（2.4)故对 S 求导式为：切线方向上的单位光程沿路径变化率折射率梯度射线方程射线方程是矢量方程，表示光线向折射率大的方向弯曲。一旦给出折射率分布n(r)，就可求出光线轨迹r的表达式。第16页，共48页。asbr例1：光线在均匀媒质中的传播（如阶跃型光纤的纤心中）射线方程：因 n = 常数改写成：其解为矢量直线方程： a和b是常矢量，在均匀介质中光线路经沿矢量a前进，并通过r=b点。物理意义： 表示光线路径的曲率变化量。 表示光线路径为直线。第17页，共48页。d?r例2：光线在折射率具有球对称分布媒质中的传播球对称：折射率仅仅是半径r的函数射线方程：推导光线走向的表达式如下： 展开射线方程：第18页，共48页。n’neRn’ ndr/ds据微分几何，等式左侧 是光线路径的曲率矢量，其大小就是路径曲线的曲率。令曲率矢量为：代入光线方程展开式：用 n 乘 K 有:上式表明折射率梯度矢量位于光线的切面内第19页，共48页。n’neRdr/dsn’ n重写曲率矢量和光线方程展开式：上两矢量式