齐次化解定点定值问题.docx

齐次化联立解决定点定值问题 广东省英德中学（513000）陈国宗 一、概述 圆锥曲线是历年高考命题的重点与难点，而定点定值问题又始终在圆锥曲线的问题中占有一席之地，该问题对学生分析问题能力，知识综合运用能力，数学运算能力与技巧要求较高.学生普遍存在计算不完或者计算不对的现象.为此，本文将介绍齐次化联立的方法解决一类定点定值问题，以提高运算的效率与准确率. 二、例题分析 例 1.已知 A, B 为抛物线 x2 ? 4 y 上异于原点O 的两点，设k , k OA OB 分别为直线OA, OB 的斜 率且k ? k OA OB ? 2 .证明：直线 AB 的斜率为定值. 解：设直线 AB 与抛物线的交点 A(x , y 1 1 ) ， B(x , y ) 2 2 设直线 AB 的方程为mx ? ny ? 1. ?x2 ? 4 y 由? 联立得： x2 ?mx ? ny ? 1 ? 4 y(mx ? ny) 即4ny2 ? 4mxy ? x2 ? 0 4n ? y ?2 ? 4m y ?1 ? 0 变形得： ? ? x? ??x x 又 k ? k OA OB ? 2 ，即 y ? y2 1x x 1 ? 2 ?? 4m ? 2 即? m ? 2 4n n 1 2 ? 直线 AB 的斜率k ? ? m ? 2 . n 点评：①上述解法的巧妙之处在于将条件中k  y? 1 与k y  y y ?2 的关系转化为关于 （视 ? 为整体）的一元二次方程的两根关系. OA x 1 OB x x 2 ②将直线 AB 的方程设为 mx ? ny ? 1是为了联立抛物线方程后方便将方程中的各项补齐为 y 二次式，进而转化为关于 x 的一元二次方程. x2 y2 ? ? 例 2.如图 1 所示，已知椭圆C : ? a2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F 6,0 ，点 A, B 及点 P(?2,1) 都在椭圆C 上，若直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补. 求椭圆C 的标准方程； 证明：直线 AB 的斜率为定值. ?? 4 1 ? ? 解：（1）依题意? a2 b2 6??c ? 6 ? 1 ，化简得a4 ?11a2 ? 24 ? 0 解得a2 ? 8 或 a2 ? 3 （舍去）? b2 ? a2 ? c2 ? 2 故椭圆C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1. 8 2 （2）分别平移 x, y 轴，建立以 P(?2,1) 为原点的直角坐标系 x?Py? ，如图 2 所示在直角坐标系 x?Py? 下：已知 P(0,0) ，设 A?x?, y??, B(x?, y? ) 1 1 2 2 设直线 AB 方程为mx? ? ny? ? 1 ?x? ? 2?2 ?y? ?1?2 易知椭圆C 的方程为 ? ? 1 8 2 变形得： x?2 ? 4 y?2 ? 4x? ? 8 y? ? 0 ?x?2 ? 4 y?2 ? 4x? ? 8 y? ? 0 ?由?mx? ? ny? ? 1 ? 联立得： x?2 ? 4 y?2 ? 4x??mx? ? ny??? 8y??mx? ? ny??? 0 ???4 ? 8n?? y? ?2 ? ?8m ? 4n? y? ?1? 4m ? 0 ? ? 化简变形得： ? x? ? x? 直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补，故k ? k ? 0 PA PB y ? y ? 8m ? 4n m 1 12即? 1 2 即 x ? x ? ? 0 ??  4 ? 8n ? 0 ? ? ? ? n 2 1 2 ?直线 AB 的斜率为k ? ? 1 . 2 易知直线在平移前后斜率不变，综上所述：直线AB 的斜率为定值? 1 . 2 点评：1.上述解法的核心在于对坐标轴进行平移，联立直线与椭圆方程齐次化，最后转化为 y 关于 的一元二次方程的两根关系问题.故我们称上述方法为平移齐次化. x 一般地，设 P(x , y 0 0 )(x 0 ? 0) 为圆锥曲线C : f (x, y) ? 0 上一点，由点 P 引倾斜角互补的 两弦 PA, PB ，利用平移齐次化方法证明直线 AB 斜率为定值的基本步骤为： ①平移坐标轴，建立以P(x , y 0 0 )(x 0 ? 0) 为原点的新平面直角坐标系x?Py? . ②在直角坐标系 x?Py? 下，求得圆锥曲线C 的方程为 f (x? ? x 0 , y? ? y 0 ) ? 0 ，并将直线 AB 方程设为mx? ? ny? ? 1. y ③联立直线与椭圆方程齐次化，将问题转化为关于 x 的一元二次方程两根关系问题. 解题过程中应注意到圆锥曲线C ： f (x? ? x , y? ? y ) ? 0 的常数项为