函数的极值与导数上.pptxVIP

1.3.2 函数的极值与导数第1页，共23页。单调性与导数的关系：复习:设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f ′(x)0，则f(x)为增函数；如果f ′(x)0，则f(x)为减函数；如果f ′(x)=0，则f(x)为常数函数；第2页，共23页。观察图像：第3页，共23页。第4页，共23页。函数的极值定义使函数取得极值的点x0称为极值点第5页，共23页。yy=f(x)P(x1,f(x1))Q(x2,f(x2))ox1x2xax3x4b （1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;注意：（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；（3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. 第6页，共23页。观察与思考：极值与导数有何关系？对于可导函数,若x0是极值点,则 f’(x0)=0;反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.第7页，共23页。 y减增 y减增o a x0 x bo a x0 x b如何判断f (x0)是极大值或是极小值？f?(x) 0f?(x) =0f?(x) 0极大值f?(x) =0f?(x) 0f?(x) 0极小值左正右负为极大，右正左负为极小第8页，共23页。 yf (x)?x3Ox思考若寻找可导函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可?探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点? f?(x)=3x2 当f?(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.f?(x0) =0x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号x0 是函数f(x)的极值点f?(x0) =0注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件第9页，共23页。练习1 下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.yxx2x3x4x5x6Oax1b第10页，共23页。例题选讲:例1 求函数 的极值.解:因为 所以令 解得 或当 , 即 , 或 ;当 , 即 .当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:++– 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 ;当 x = 2 时, f (x)有极小值 .第11页，共23页。令 ,解得x1=-2,x2=2.当x变化时, ,y的变化情况如下表:解:例1 求函数 的极值.因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值= ;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值= .第12页，共23页。例题1的图像yf(x)= x3-4x+4-+2o-x-2+第13页，共23页。求可导函数f(x)极值的 步骤：(1) 确定函数的定义域；(2)求导数f ’(x)；(3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f ’(x)在方程根左右的符号——如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；第14页，共23页。②练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。①可导函数必有极值；②可导函数在极值点的导数一定等于零；③函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。第15页，共23页。练习2求下列函数的极值:解: 令 解得 列表:– +递减递增所以, 当 时, f (x)有极小值第16页，共23页。练习2求下列函数的极值:解: 解得 列表:++– 单调递增单调递减单调递增所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ;当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .第17页，共23页。练习2求下列函数的极值:解: 解得所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值