拉氏变换常用公式.docx

附录 A 拉普拉斯变换及反变换 表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 L[af (t )] ? aF (s) 叠加性 L[ f 1 (t) ? f 2 (t)] ? F 1 (s) ? F 2 (s) df (t ) L[ dt  ] ? sF (s) ? f (0) 一般形式 L[ d 2 f (t ) ] ? s 2 F (s) ? sf (0) ? f ?（0） dt 2 ? d n f (t ) ?n 微分定理 L? ? ? s n F (s) ? s n ? k f dt n ( k ?1) (0) f ( k ?1) (t ) ? 2 d k ?1 f (t ) dt k ?1 k ?1 初始条件为 0 时 d n f (t) ?L[ ] s n F (s) dt n ? t ?0L[? f (t)dt] ? F (s) ? [? f (t t ?0 s s 一般形式 L[??  f (t)(dt  )2 ] ? F (s) [? f (t)dt] ? t ?0 [?? f (t)(dt)2 ] ? t ?0 积分定理 ? 共?n个 s2 s2 s 共?n个 L[?? ? f (t)(dt)n ] ? 3 F (s) ? ?n sn k ?1 1 sn ?k ?1 [?? ? f (t)(dt)n ] t ?0 初始条件为 0 时 共?n个 L[?? ? f (t)(dt)n ] ?  F (s) sn 延迟定理（或称t 域平移定理） L[ f (t ? T )1(t ? T )] ? e ?Ts F (s) 衰减定理（或称s 域平移定理） L[ f (t)e? at ] ? F (s ? a) 终值定理 lim f (t) ? lim sF (s) t ?? s?0 初值定理 lim f (t) ? lim sF (s) t ?0 s?? 8 卷积定理 L[?t f (t ?? ) f (? )d?] ? L[?t f (t) f (t ?? )d? ] ? F (s)F (s) 0 1 2 0 1 2 1 2 表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序 号 拉氏变换E(s)  时间函数e(t)  Z 变换E(z) 211 2 1 1 ? e?Ts ? T (t) ? ?? ? (t ? nT ) n?0 z z ?1 3 1 s 1(t) z z ?1 4 1 t s 2 5 1 t 2 s 3 2  Tz (z ? 1)2 T 2 z(z ? 1) 2(z ? 1)3 6 1 sn?1 7 1 t n n! e ? at lim (?1)n ? n a?0 n! ?an z ( z ) z ? e?aT s ? a 8 1 (s ? a) 2 9 a  te? at ? z ? e ?aT Tze?aT (z ? e?aT )2 (1? e ? aT )z s(s ? a) 1 ? e at (z ?1)(z ? e ? aT ) 10b ? a 10 (s ? a)(s ? b) e ? at ? e  ?bt z z ? e?aT z z ? e?bT 11 ? s 2 ? ? 2 12 s s 2 ? ? 2 13 ? (s ? a) 2 ? ? 2 14 s ? a (s ? a) 2 ? ? 2 15 1 s ? (1/ T ) ln a  sin? t cos? t e? at sin? t e? at cos? t at / T z sin?T z 2 ? 2z cos?T ? 1 z(z ? cos?T ) z 2 ? 2z cos?T ? 1 ze ? aT sin ?T z 2 ? 2ze ?aT cos?T ? e ?2 aT z 2 ? ze ? aT cos?T z 2 ? 2ze ? aT cos?T ? e ? 2 aT z z ? a 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 F (s) 是 s 的有理真分式 B(s) b sm ? b sm?1 ?? ? b s ? b F (s) ? ? m m?1 1 0 （ n ? m ） A(s) a sn n a n?1 sn?1 ?? ? a 1 s ? a 0 式中系数a 0 , a ,..., a 1 , a n?1 n ， b , b 0 1 ,? b , b m?1 m 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可将 F (s) 展开为 部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A(s) ? 0