换元法分解因式.docx

换元法分解因式巧用 吴健 用换元法分解因式，它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化。本文谈谈应用换元法分解因式的技巧和方法。 一、整体换元 例 1 分解因式： (a 2 ? 3a ? 2)(a 2 ? 3a ? 4) ? 16. 解：设a 2 ? 3a ? 2 ? m ，则原式 ? m(m ? 6) ? 16 ? m 2 ? 6m ? 16 ? (m ? 8)(m ? 2) ? (a 2 ? 3a ? 6)(a 2 ? 3a ? 4) ? (a 2 ? 3a ? 6)(a ? 4)(a ? 1). 评注：此题还可以设a 2 3a ? m ，或a 2 ? 3a ? 4 ? m ，或a 2 ? 3a ? 1 ? m 。 二、均值换元 例 2 分解因式： (a ? 1)(a ? 3)(a ? 5)(a ? 7) ? 15. 解：原式? [(a ? 1)(a ? 7)][(a ? 3)(a ? 5)] ? 15 ? (a 2  ? 8a ? 7)(a 2  ? 8a ? 15) ? 15. 取“均值”，设 m ? 1 [(a 2 ? 8a ? 7) ? (a 2 ? 8a ? 15)] ? a 2 ? 8a ? 11. 2 原式? (m ? 4)(m ? 4) ? 15 ? m 2 ? 16 ? 15 ? m 2 ? 1 ? (m ? 1)(m ? 1) ? (a 2 ? 8a ? 12)(a 2 ? 8a ? 10) ? (a ? 2)(a ? 6)(a 2 ? 8a ? 10). 三、双换元 例 3 分解因式：(b ? c) 2  ? 4(c ? a)(a ? b). 解：设c ? a ? p, a ? b ? q ，两式相加，则b ? c ? ?(p ? q). 原式? [?(p ? q)]2 ? 4pq ? (p ? q) 2 ? [(c ? a) ? (a ? b)]2 ? (b ? c ? 2a) 2 . 四、倒数换元 例 4 分解因式a 4  ? 7a 3  ? 14a 2  ? 7a ? 1. ? 7 1 ? ? a 2 ?a 2 ? 7a ? 14 ? ? ? 解：原式 ?? ? ? a 2 a 2 ? ? 1 ? ? ? a a 2 ? ? 1 ? ? 14? ?? ? 7?a ? ? ?? a 2 ? ? a ? ? ? a 2 [(m 2 ? 2) ? 7m ? 14]? ? ?设a ? ?? ? 1 ? m? ?a ? ? ? a 2 (m 2 ? 7m ? 12) ? a 2 (m ? 3)(m ? 4) ?? 2 1 ?? 1 ? ? a ?a ? ? 3??a ? ? 4? ? a ?? a ? ? (a 2 ? 3a ? 1)(a 2 ? 4a ? 1). 五、和差换元 例 5 分解因式(ab ? 1) 2  ? (a ? b ? 2ab)(2 ? a ? b). 解：设a ? b ? 2ab ? m ? n,2 ? a ? b ? m ? n, 则m ?1 ? ab, n ? a ? b ? ab ? 1，于是 原式? m 2 ? (m ? n)(m ? n) ? n 2 ? (a ? b ? ab ? 1) 2 ? (a ? 1) 2 (b ? 1) 2 .