2023考研高等数学全考点精讲-第十讲 常微分方程.pdf

第十讲常微分方程 【考试要求】 1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初识条件和特解等概念. 2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分 方程. 3. 会用降阶法解下列形式的微分方程. 4. 理解线性微分方程解的性质及解的结构. 5. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系 数齐次线性微分方程. 6. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与 积的二阶常系数非齐次线性微分方程. 7. 会用微分方程解决一些简单的应用问题. 8. 会解欧拉方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些 微分方程(数一). 9. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念(数三). 考点 一阶微分方程求解 1. 变量可分离 形如g(y)dy = / (X)必的方程称为变量可分离的微分方程. 解法:g(y)y = f(x)dxfli端直接积分. 2. 齐次方程 形如巴)的方程称为齐次方程. ax ) 解法:令 “=】换元,齐次方程可化成可分离变量的微分方程. 1/7 3. 一阶线性微分方程 形如务+P（］）y = Q（x）的方程称为一阶线性微分方程， 当Q（X）= 0时,称为齐次微分方程;当Q（X）* 0时，称为非齐次微分方程. 解法:套公式y = 公+C）. ［例1］微分方程矽+ y =。满足y （l） = 1的解是y =. ［例2］求微分方程（y+JJ + b）子一必=0满足y（1） = 0（*0）的解. ［例3］ （2011数一）微分方程；/ + y = e osx满足y（0）= tfl勺解为 ［例4］微分方程）次+（x-3y2） tfy = 0满足y⑴=1的解为y = . 2/7 ［例 5］世(x)连续，且 ^f(x-t)dt = j^x-t)f(t)dt+ex-K^f(x). ［例 6］设 F (x) = / (x)g(x),其中/ (x),g(x)在(f,+oo)内满足条件:f(x) = g(x), g\x) = f (x),J@L/* (0) = 0,/(x) + (x) = 2e\^. (1) F (x)所满足的一阶微分方程; (2) F⑴的表达式.答案,F (x) = e2x-e-2\ 3/7 考点 二阶可降阶微分方程 iy=/（x,y）型 解法:令y = p,则y 〃 = p,带入原方程化为一阶方程. 2y=/（y,y）型 解法:令y = p,则 『=舟,带入原方程化为一阶方程. dy ［例1］微分方程寂〃 + 3/ = 0£|勺通解为—. ［例2］微分方程yy + = 0满足y（0）= 1,/（0）= 的特解是 4/7 考点 二阶常系数线性微分方程 1.线性微分方程解的性质及结构 定理1 设)， 即丹是y 〃+P⑴y+Q (x))，= O的两个不成比例 (无关)的解， 则丫 = +C2y2是该齐次方程的通解,是任意常数. 定理2:设y*是)，〃 + P (x)+ Q (x))，= f⑴的特解,Y是对应齐次方程的通解， 则),=丫 + 5•是该非齐次方程的通解. 定理 3:设E，y；都是y 4- P (x) y + Q (x) y = f (x)的解， 则y； - y；是对应齐次方程的解. ［例1］(2013数一二)已知片必况二-—对二为=-x必是某二阶常系数 非齐次微分方程的3个特解，则该方程满足)， (0) = 0,)/ (0) = 1的特解为—. 2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解 形如)，+ py1 + qy = 0的方程称为二阶齐次线性微分方程. 解法:写出特征方程，+ pr + q = 0 (1) 特征方程有两不等实根4。与n通解y =