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数学与统计学院2019－2020第二学期 《线性代数C》期中试卷 一、（8分）设与可交换，且可逆,为A的伴随矩阵,试证明与也可交换。 二、（10分）设其中，（是互不相等的正实数）求方阵. 三、（10分）设,求 四、（10分）设有三阶方阵，求和. 五、（12分）计算向量组，，， 的秩，并求出该向量组的一个极大无关组，同时将其余向量表示成极大无关组的线性组合。 六、（10分）设矩阵为 ，， （1）求； （2）求的逆矩阵. 七、（10分）已知， （1）问为何值时，？ （2）求矩阵方程的全部解。 八、（10分）设齐次线性方程组的系数阵为，若3阶非零阵满足，（1）求的值； （2）求； （3）求的值。 九、(10分)设是维列向量组，矩阵 试证明线性无关的充要条件是对任意维列向量，方程组均有解。 十、（10分）设为矩阵，为维实向量，证明：方程组与同解。 数学与统计学院2019－2020第二学期 《线性代数C》期中试卷参考答案 一、（8分）设与可交换，且可逆,为A的伴随矩阵,试证明与也可交换。 证明： 由 ，得 故 二、（10分）设其中，（是互不相等的正实数）求方阵. 解 故由知， 三、（10分）设,求 解 或 四、（10分）设有三阶方阵，求和. 解： 因此矩阵可逆，且有； 故 五、（12分）计算向量组，，， 的秩，并求出该向量组的一个极大无关组，同时将其余向量表示成极大无关组的线性组合。 解：设，先对施行行初等变换化为行最简形矩阵，知向量组的秩，易知1、2两列即为的一个极大无关组。且有，. 六、（10分）设矩阵为 ，， （1）求； （2）求的逆矩阵. 解：（1） 因为 ， 而，， 所以 （2） 七、（10分）已知， （1）问为何值时，？ （2）求矩阵方程的全部解。 解： 有解，须, 对矩阵作初等行变换： 由此看出 欲 须 . 所以 当时有解。 当 时，将上面最后一个矩阵进一步化为行简化阵 由 得 由　 得 由　 得 故所求矩阵方程的通解为 （）． 八、（10分）设齐次线性方程组的系数阵为，若3阶非零阵满足，（1）求的值； （2）求； （3）求的值。 解：（1）由知，矩阵的各个列向量均为齐次线性方程组的解向量，而，所以至少有一个列向量为非零向量，从而有非零解，故， （2）因为 ， 所以. （3）由均为3阶方阵，且，得，所以的各列均为的解，而为非零矩阵，所以有非零解，从而知 . （或可由判断。事实上若，则可逆。于是由得，显然不对，故可知.） 九、(10分)设是维列向量组，矩阵 试证明线性无关的充要条件是对任意维列向量，方程组均有解。 证明：记由线性无关知而，即可逆, 故对任意维列向量，方程组均有解. 分别取,由方程组均有解知，与的列向量组等价,故，从而,得故线性无关。 十、（10分）设为矩阵，为维实向量，证明：方程组与同解。 证明：显然的解均是的解。下面证的解也为的解。 事实上，设为的任一解，即， 两端左乘得 即， 即向量的长度的平方为零，所以，于是为的解。由的任意性知 的解均是的解。 故齐次线性方程组与同解。