2019线性代数C试题含解答（A卷）.docxVIP

2018-2019学年第二学期期末考试 线性代数C试题（A卷） 一、（10分）已知，试计算,的值。 二、（12分）求向量组 的秩和一个极大线性无关组并将其余向量用极大线性无关组表示。 三、（16分）设矩阵为 ，， （1）求； （2）求的逆矩阵. 四、（14分）已知， （1）问为何值时，？ （2）求矩阵方程的全部解。 五、（15分）设齐次线性方程组的系数阵为，若3阶非零阵满足，（1）求的值； （2）求；（3）求的值。 六、（15分）设实向量，其中，，矩阵 （1）试说明矩阵能相似于对角阵； （2）求可逆矩阵，使为对角阵，并写出此对角阵； （3）求行列式. 七、（10分）设均是同阶方阵，是可逆矩阵，且满足，证明、以及 都是可逆矩阵。 八、（8分）记，则方程组有形如解的一个充分必要条件是可由线性表示。 2018-2019学年第二学期期末考试 线性代数C（A卷解答） 一、（10分）已知，试计算,的值。 解：由代数余子式的性质有 5分 由克莱姆法则知 10分 二、（12分）求向量组 的秩和一个极大线性无关组并将其余向量用极大无关组表示。 解 令，对作初等行变换得： 8分 故且的一个极大无关组是：且 12分 三、（16分）设矩阵为 ，， （1）求； （2）求的逆矩阵. 解：（1） 因为 ， 而 ， 所以 10分 （2） 16分 四、（14分）已知， （1）问为何值时，？ （2）求矩阵方程的全部解。 解： 有解，须, 对矩阵作初等行变换： 由此看出 欲 须 . 4分 所以 当时有解。 当 时，将上面最后一个矩阵进一步化为行简化阵 由 得 由　 得 由　 得 故所求矩阵方程的通解为 （）．14分 五、（15分）设齐次线性方程组的系数阵为，若3阶非零阵满足，（1）求的值； （2）求；（3）求的值。 解：（1）由知，矩阵的各个列向量均为齐次线性方程组的解向量，而，所以至少有一个列向量为非零向量，从而有非零解，故，5分 （2）因为 ， 所以. 10分 （3）由均为3阶方阵，且，得，所以的各列均为的解，而为非零矩阵，所以有非零解，从而知 . （或可由判断。事实上若，则可逆。于是由得，显然不对，故可知.） 15分 六、（15分）设实向量，其中，，矩阵 （1）试说明矩阵能相似于对角阵； （2）求可逆矩阵，使为对角阵，并写出此对角阵； （3）求行列式。 解：(1) 为实对称矩阵，所以相似于对角阵。 (4分) (2) 因为，所以是的特征值。 又秩，，所以是的另两个特征值。 设为对应的特征向量，则由 ，得对应的线性无关的特征向量 ，令 则 。 12分 (3) 的特征值为－2＋1=－1，1+1=2，1+1=2，因此。 15分 七、（10分）设均是同阶方阵，是可逆矩阵，且满足，证明、以及 都是可逆矩阵。 证 因为, 则 所以, 因而和可逆。 5分 注意 ，，因而可逆。 注意 ， 因为、均可逆, 故 所以有 ， 即可逆。 10分 八、（8分）记，则方程组有形如解的一个充分必要条件是可由线性表示。 证明 由是的解，当且仅当， 即 当且仅当可由线性表示。 8分