线性代数课件-正定二次型和正定矩阵.pptxVIP

§6.5 正定二次型和正定矩阵一、正定二次型的概念 定义: 设有实二次型 f (x)=xTAx,显然 f (0)=0. 如果对任意的 x ? 0, 都有 f (x)0, 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵.注意：正定矩阵一定是对称矩阵.例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型。 (1) 二次型标准型正定充分性显然成立。再证必要性，用反证法.取则假设与 f 正定矛盾！经过可逆变换x＝Cy化为二次型（2）二次型其正定性保持不变.一方面，由正定正定.对应的由x＝Cy得到与任取因为正定，所以正定.故即正定另一方面，由正定.对应的由 x＝Cy 得到与任取因为正定，所以故正定.即(3)由（2）和正定矩阵的定义可知正定矩阵的合同矩阵仍然是正定矩阵.（4）判断二次型的正定性，可先将其化为标准形或规范形，再判断.二、正定二次型和正定矩阵的判定1、用二次型的标准形或规范形来判别二次型的正定性，有下列重要的结果.定理1：若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价：是正定二次型（或A是正定矩阵）；（1）（2）A的正惯性指数为n，即（3）存在可逆阵P使得（4）A的n个特征值全大于0.证明：用循环证明法（1）（2）对于矩阵A，存在可逆阵C，使得因为A正定，所以即A的正惯性指数为n，故（2）（3）因为A合同于I，即存在可逆阵C，使得所以取则有（3）（4）设所以因为于是即因为且P可逆，所以从而（4）（1）对于n阶实对称矩阵A，一定存在正交矩阵Q，使得即若令x=Q y, 则有因为所以正定，从而A正定.例1: 判别二次型 f(x1, x2, x3)=2x12+4x22+5x32–4 x1x3是否正定.解： 且等号成立当且仅当即所以二次型正定.另解: 用特征值判别法.二次型 f 的矩阵为:令| A–?E | = 0, 得?1=1, ?2=4, ?3=6.即知A是正定矩阵,故此二次型 f 为正定二次型.例2：设A为3阶实对称矩阵,且满足证明A正定.证明：设那么由条件可得又因为所以故A正定.解得例3：若A是正定矩阵，证明也是正定矩阵.证明：因为A正定，所以A为对称矩阵，且r(A)=n从而A可逆，且也是对称矩阵.下面证明正定方法一：有因为A正定，所以对任意又因为A可逆，所以从而对任意有故正定.方法二：因为A正定，所以A合同于E，即存在可逆阵C，使得于是则有取故正定.方法三：因为A正定，所以可逆阵P，使得于是则有取故正定.方法四：因为A正定，所以A的特征值而的特征值为也大于0，故正定.正定矩阵具有以下一些简单性质:若A为正定的, 则AT, A-1, kA（k为正数），A* 均为正定矩阵.2.若A, B均为n阶正定矩阵, 则A+B，kA＋lB（k和l为正数）也是正定矩阵.例4：设有n元二次型其中为实数，当满足什么条件时，二次型为正定二次型.且等号成立当且仅当解:显然方程组的系数行列式为方程组当时，系数行列式只有零解，即且等号成立当且仅当此时二次型正定.正定.例5：设A是m×n矩阵，r(A)= n,证明为对称矩阵证明：首先容易看出于是因为r (A)= n，所以对任意故正定.2、用A的顺序主子式判定A的正定性定理2： （必要条件）若二次型正定（或 A正定），则（1）A的主对角元（2）|A| 0.正定，所以对证明： （1）因为第i个分量（2）因为A正定，所以A的特征值于是n元二次型 （或对称矩阵A）为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式（左上角主子式）为正, 即定理3：充要条件证明略例6: 判别二次型 f(x1, x2, x3)=5x12+x22+5x32+4 x1x2–8 x1x3–4x2x3是否正定. 解: f(x1, x2, x3)的矩阵为它的各阶顺序主子式:故上述二次型是正定的.例7：判定下列矩阵的正定性解：因为|A|=0,所以A不是正定的；因为|B|0,所以B不正定；必要条件因为所以C不正定.因为所以D不正定.充要条件也可以用特征值法判定.正定，求 t 的范围.例8：已知矩阵解：因为A正定，所以由解得于是得到 t 的取值范围是：例9：设A为n阶正定矩阵，证明 |A+I| 1.证明：因为A正定，所以A的特征值而（A＋I）的特征值为故小结　1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的区别与联系.2. 正定二次型(正定矩阵)的常用判别方法:(1) 定义法;(2) 顺序主子式判别法;(3) 特征值判别法.思考题设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块矩阵是否为正定矩阵.思考题解答C是正定的.显然C是实对称阵. 设zT=(xT, yT)为m+n维列向量, 其中x, y分别是m维, n维列向量, 若 z?0, 则x, y不同时为零向量,于是故C为正定矩阵.也可以按主子式方法证明.