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2016-2017学年第二学期期末考试线性代数B试题（A） 一、（8分）不求出行列式的值,用行列式的性质,判断行列式能被整除. 二、（10分）什么样的矩阵满足下面等式：. 三、（10分）设,求 四、（10分）计算n阶行列式的值. 五、（12分）求向量组,,,的秩及一个最大无关组，并用最大无关组线性表示向量组中其它向量。 六、（6分）设向量组是齐次方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，求证：线性无关。 七、（10分）已知三阶方阵 满足，，， (1)求.（2）计算行列式和的值；（3）判断是否为正定矩阵。 八、（10分）已知向量组是的基，说明也是的基。若 向量在基下坐标为，求向量在基的坐标。 九、（10分）设二次型通过正交变换化成标准型，求出的值及所用的正交变换。 十、（14分）讨论为何值时，方程与方程组无公共解，有唯一公共解，有无穷多公共解，并写出相应的公共解？ 武汉大学2016-2017学年第二学期期末考试线性代数B试题（A）参考解答 一、（8分）不求出行列式的值,用行列式的性质,判断行列式能被整除. 解 因为都能被整除.所以第一列的100倍,第二列的10倍加到第三列得204,527,255,而这三项能提出公因子17.故原行列式的值能被17整除. 二、（10分）什么样的矩阵满足下面等式：. 解 设 则，， (为任意实数） 三、（10分）设,求 解 先化简,有 四、（10分）计算n阶行列式的值. 解 五、（12分）求向量组,,,的秩及一个最大无关组，并用最大无关组线性表示向量组中其它向量。 解 令，对作初等行变换： 故给定向量组的秩为。是一个最大无关组。且 六、（6分）设向量组是齐次方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，求证：线性无关。 证明：假设线性有关，则存在不全为零的使得 ， 于是=， 又由于的线性无关性知，于是 （），这与已知向量不是方程组的解矛盾。 七、（10分）已知三阶方阵 满足，，， (1)求.（2）计算行列式和的值；（3）判断是否为正定矩阵。 解： （1）设，则是矩阵特征向量，且对应的特征值分别为，设。 则，故 （2） 设，则有， ，故 (3) 由三阶矩阵为实对称矩阵，且有三个大于零的特征值，故为正定矩阵。 八、（10分）已知向量组是的基，说明也是的基。若 向量在基下坐标为，求向量在基的坐标。 解：由题条件可知，记 由可知可逆，故也能表示，故它们等价 故，又有3个向量，故 由题条件可知， 故 故在基的坐标为 九、（10分）设二次型通过正交变换化成标准型，求出的值及所用的正交变换。 解 二次型的矩阵为，由题意可知的特征值为，故有 ， 得；由是特征值得，即，得 当特征值为时解得两个无关的特征向量 将其正交规范化后得 当特征值为时解得特征向量，单位化得 令，则即为所求。 十、（14分）讨论为何值时，方程与方程组无公共解，有唯一公共解，有无穷多公共解，并写出相应的公共解？ 解：问题等价于为何值时方程组（*）无解，有唯一解，和无数多个解。（*）的线性矩阵的行列式值为，由克拉姆法则知， 即（*）有唯一解 当时（*）增广矩阵为， 故当时，且时（*）无解； 当，且时（*）与，故有解，其中为任意常数 当时（*）增广矩阵，故 ，（*）无解。故 当或当且时，两个方程无公共解。 当两个方程有唯一公共解。 当时，且时两个方程有无数个共解