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开普勒方程资料第1页/共44页 授课内容卫星轨迹的预测开普勒方程的求解开普勒轨道根数第2页/共44页 1.1 轨道预报已知t0时刻卫星的位置r0，速度v0，预报时刻t,卫星的位置r和速度v在极坐标下ieip如何计算的?第3页/共44页 1.1 轨道预报第4页/共44页 1.1 轨道预报带入位置r和速度v的表达式中回到原始问题，已知t0,r0,v0，求时刻t的r和速度v第5页/共44页 1.1 轨道预报需要开普勒第二定律主要求解出上述方程，就可以得到真近点角f与时间t之间的关系，进而预报卫星在轨道的位置和速度。第6页/共44页 授课内容卫星轨迹的预测开普勒方程的求解开普勒轨道根数第7页/共44页 2.1 开普勒方程当0≦e1时，引入一个新的角度E（偏近点角）在以C点（椭圆中心）为原点的坐标系中第8页/共44页 2.1 开普勒方程在以F点（椭圆一个焦点）为原点的坐标系时，椭圆参数方程为坐标系原点平移到C点后，椭圆参数方程为得到r与E 的数学关系第9页/共44页 2.1 开普勒方程进一步，可以得到第10页/共44页 2.1 开普勒方程上述两式相除，再开平方，得到上式两边同时对时间求导数第11页/共44页 2.1 开普勒方程由开普勒第二定理积分，得到著名的开普勒方程，表示了时间与真近点角的函数关系，其中 τ 是一个新的积分常数第12页/共44页 2.1 开普勒方程定义平近点角M：通过开普勒方程，可以得到运动时间 t 与偏近点角E，根据E与真近点角 f 的关系，得到 f ，进而进行卫星轨道的预报。现在的问题是如何求解开普勒方程？第13页/共44页 2.2 开普勒方程的求解第一种方法：序列迭代法迭代停止条件第14页/共44页 2.2 开普勒方程的求解迭代格式是否收敛？课堂练习：编制开普勒迭代求解matlab程序第15页/共44页 2.2 开普勒方程的求解M = pi/2;E0 = 0;E1 = 1;tem =0;e = 0.2;n = 0;while(abs(E1-E0)1e-6) E0 = tem; E1 = M + e*sin(E0); tem = E1; n = n+1; endn当n=6时，E收敛第16页/共44页 2.2 开普勒方程的求解第二种方法：拉格朗日方法（1770年）考虑函数α为一个小参数，如椭圆偏心率第17页/共44页 2.2 开普勒方程的求解第18页/共44页 2.2 开普勒方程的求解开普勒方程的拉格朗日级数解 E = M +e*sin(M)+e^2/2*2*cos(M)*sin(M) + e^3/6*(6*cos(M)^2*sin(M)- 3*sin(M)^3) + e^4/24*(24*cos(M)^3*sin(M) - 40*cos(M)*sin(M)^3)+ e^5/120*(65*sin(M)^5 + 120*cos(M)^4*sin(M) - 440*cos(M)^2*sin(M)^3)第19页/共44页 2.2 开普勒方程的求解拉格朗日系数求解问题n =5; syms M,n; ff = diff(sin(M)^n,n-1)拉格朗日级数收敛问题第20页/共44页 2.2 开普勒方程的求解第三种方法：牛顿迭代法给定方程解的一个初始猜测值x0迭代停止条件第21页/共44页 2.2 开普勒方程的求解课堂练习题：推导开普勒方程的牛顿迭代格式，并编制Matlab程序，比较与第一种迭代格式的区别第一种迭代格式第22页/共44页 2.2 开普勒方程的求解M = pi/2;E0 = 0;E1 = 1;tem =0;e = 0.8;n = 0;while(abs(E1-E0)1e-6) E0 = tem; E1 = M + e*sin(E0); % E1 = E0 - (E0-M-e*sin(E0))/(1-e*cos(E0)); tem = E1; n = n+1; endne=0.8时，第一种迭代格式需要20次，牛顿迭代法需要6次第23页/共44页 2.2 开普勒方程的求解其他方法：傅里叶级数法高斯法e=1，抛物线;e1,双曲线有类似的结果第24页/共44页 2.2 开普勒方程的求解课后作业应用三种方法求解开普勒方程，计算M = 260°，e = 0.8时的偏近点角E和真近点角f，并对结果进行对比分析。第25页/共44页 2.3 卫星轨道的预报已知t0,r0,v0，求时刻t的r和速度v第26页/共44页 2.3 卫星轨道的预报课后作业以x0 = [-5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008]人造地球轨道卫星的初始条件，应用本