人教版九年级数学上册知识点总结3.docx

九年级数学上册知识点总结 第二十一章：一元二次方程 一元二次方程 知识点一： 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。知识点二 ：一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 知识点三： 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如 x2=a(a≥ 0) 的方程，根据平方根的定义可解得 aax = ,x = . a a 1 2 直接开平方法适用于解形如x2=p 或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二 ：配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； ⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一 ：公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 b ? b ? b 2 ? 4ac 2a ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式， 我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 公式法解一元二次方程的具体步骤： ① 方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般 a 化为正值 ②确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； ③求出 b2-4ac 的值； ④若b2-4ac≥0，则把 a,b,c 和b-4ac 的值代入公式即可求解， 若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△ =b2-4ac. △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 因式分解法 知识点一 ： 因式分解法解一元二次方程 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 因式分解法的详细步骤： ① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0 的两个根为x ,x ,则有 x +x =-p,x x =q. 1 2 1 2 1 2 b c 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x ,x ,则有x +x =， ,x x = 1 2 22.3 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 1 2 a 1 2 a 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 设：是指设元，也就是设出未知数。 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等 含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式， 即方程。 解：就是解方程，求出未知数的值。 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一