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半平面Bergman空间上复合算子的差 引言 Bergman空间作为一类特殊的Hilbert函数空间，一直以来都是数学界的研究热点。Bergman空间的一大特点是其自然的半正定性质，这使得在Bergman空间上定义的算子、函数具有更好的性质。随着人们对Bergman空间研究的不断深入，半平面Bergman空间作为一种特殊的Bergman空间也日益受到关注。本文旨在研究半平面Bergman空间上复合算子的差，并探讨其性质。 半平面Bergman空间 我们先来回顾一下Bergman空间的定义。设D是$\\mathbb{C}$上的一个有界开集，那么Bergman空间$\\mathcal{A}^2(D)$定义为所有在D中解析且平方可积的函数$f:\\ D\\longrightarrow\\mathbb{C}$组成的函数空间，即： $$ \\mathcal{A}^2(D) = \\big\\{f: D\\rightarrow \\mathbb{C}\\ \\big|\\ f \\text{是 } D \\text{上解析且 }\\int_D |f(z)|^2 dA(z) \\infty \\big\\}, $$ 其中dA(z 现在我们来介绍半平面Bergman空间的定义。设$\\mathbb{H}=\\{z\\in\\mathbb{C}\\ |\\ \\mathrm{Im}(z)0\\}$表示上半平面，那么半平面Bergman空间$\\mathcal{A}^2(\\mathbb{H})$定义为在$\\mathbb{H}$中解析且平方可积的函数$f:\\ \\mathbb{H}\\longrightarrow\\mathbb{C}$组成的函数空间，即： $$ \\mathcal{A}^2(\\mathbb{H}) = \\big\\{f: \\mathbb{H}\\rightarrow \\mathbb{C}\\ \\big|\\ f \\text{是 }\\mathbb{H} \\text{上解析且 }\\int_\\mathbb{H} |f(z)|^2 dA(z) \\infty \\big\\}. $$ 半平面Bergman空间与一般的Bergman空间不同，其具有一些独特的性质。例如，对于$\\mathbb{H}$上的任意一个解析函数f(z)，其在$\\mathcal{A}^2(\\mathbb{H})$ 复合算子的定义与性质 在Bergman空间或半平面Bergman空间中，复合算子是一类经典的算子，其应用广泛。接下来我们先回顾一下复合算子的定义。 设D是复平面上的一个有界开集，$F:\\ D\\longrightarrow D$是一个解析映射。那么我们可以定义一个F的复合算子： $$ M_F(f)(z) = f(F(z)),\\quad z\\in D, $$ 其中$f\\in\\mathcal{A}^2(D)$。我们可以发现，MF是一个定义在$\\mathcal{A}^2(D)$ 对于$F, G\\in\\mathbb{H}$，$M_{F\\circ G}=M_F\\circ M_G$。 若F是一阶的M?bius映射，则MF 若F是内部可扩域内的逆正则变换，则MF 有了上述性质，我们可以更好地研究复合算子在Bergman空间或半平面Bergman空间中的应用了。 复合算子的差 现在我们来研究半平面Bergman空间上复合算子的差。设$F, G:\\ \\mathbb{H}\\longrightarrow\\mathbb{H}$是两个解析映射，那么我们定义MF和M $$ M_{F-G}(f)(z) = f(F(z))-f(G(z)),\\quad z\\in\\mathbb{H}, $$ 其中$f\\in\\mathcal{A}^2(\\mathbb{H})$。我们可以发现，MF?G 接下来我们来讨论MF 对于任意的$f\\in\\mathcal{A}^2(\\mathbb{H})$，MF?G 若F,G是逆正则变换，则 上述性质为我们理解MF?G提供了非常重要的线索。通过性质1，我们可以发现MF?G的核是线性空间{常数函数}，这表明 结论 本文探究了半平面Bergman空间上复合算子的差，并讨论了它的一些性质。通过研究，我们可以发现MF