2023年高考数学必刷压轴题（新高考版）专题18 立体几何与空间向量（选填压轴题） （解析版）.docx

第 Page \* MergeFormat 1 页 共 NUMPAGES \* MergeFormat 37 页 专题18 立体几何与空间向量（选填压轴题） 立体几何与空间向量（选填压轴题） ①空间几何体表面积和体积 ②动点问题 ①空间几何体表面积和体积 1．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（??） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为三棱柱为直三棱柱， 所以，平面 所以，要使三棱柱的体积最大，则面积最大， 因为， 令 因为，所以， 在中，， 所以，， 所以，， 所以，当，即时，取得最大值， 所以，当时，取得最大值，此时为等腰三角形，， 所以，， 所以， 所以，由正弦定理得外接圆的半径满足，即， 所以，直三棱柱外接球的半径，即， 所以，直三棱柱外接球的体积为. 故选：C 2．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍?”指底面为矩形.顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个“刍?”，其中是正三角形， ， ，则该五面体的体积为（????） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知,平面,平面, 所以平面,又平面平面,平面, 所以,而平面,平面,故平面, 设中点为G，连接，故,由于, 则四边形为平形四边形，则, 因为，所以, 由已知可得,而是正三角形， 则 ,所以,又,则为等边三角形， 作,垂足为M,则 ,作 ,垂足为H, 则 , 则分别过点作的平行线，交于,连接, 则,又平面, 所以平面,同理平面, 由于是正三角形，平面， 故五面体可分割为直棱柱和两个相同的四棱锥、 , 由于是正三角形，平面,则处于过的中点连线且和底面垂直的平面内， 即五面体的两侧面是全等的梯形，故, 由于, 由于棱柱为直棱柱，可知平面平面, 则四棱锥的高即为的底边上的高，为， 所以该五面体的体积为, 故选:D 3．（2022·全国·模拟预测）在棱长为3的正方体中，点为侧面内一动点，且满足平面，若，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（????） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正方体中，连接，如图， 对角面是矩形，有，平面，平面，则平面， 同理平面，而，平面，因此平面平面， 而平面，平面，则有平面，又点在侧面内， 侧面平面，于是得点在线段上，中，， 由余弦定理得：，即，解得或， 中，，由余弦定理得：， 由正弦定理得的外接圆半径，外接圆半径， 令，外接圆圆心为，有平面，取中点，令外接圆圆心为 连， 则，而平面平面，平面平面， 因此平面，平面，又平面，从而有， 即四边形为平行四边形，， 球O的半径R，有， 所以球的表面积为. 故选：C 4．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示: 正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有， 俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到球心的距离与正视图中的相等， 设半球半径为R，已知小球半径r=1，∴ ，，，. 半球面形状的容器的容积是. 故选：B 5．（2022·全国·高三专题练习）公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线与直线所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与的体积相同的是（????） A．图①，长为?宽为的矩形的两端去掉两个弦长为?半径为的弓形 B．图②，长为?宽为的矩形的两端补上两个弦长为?半径为的弓形 C．图③，长为?宽为的矩形的两端去掉两个底边长为?腰长为的等腰三角形 D．图④，长为?宽为的矩形的两端补上两个底边长为?腰长为的等腰三角形 【答案】B 【详解】由得：， 则当与相交于两点时，内圆半径，则在该位置旋转一周所得圆环面积为； 将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为轴建立平面直角坐标系， 对于③，双曲线实轴长为，③中轴的最短距离为，不合题意，③错误； 对于④，几何体母线长为，④中轴的最长距离为，不合题意，④错误； 对于①，在轴的最短距离为，母线长为，与几何体吻合； 当与①中图形相交时，两交点之间距离为， 此时圆环面积为