压轴题16圆与相似三角函数的计算与证明问题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）（解析版）.docxVIP

2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题16圆与相似三角函数的计算与证明问题 例1．（2023?利辛县模拟）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G． （1）求证：∠A＝∠BFG； （2）求FG的长． 【分析】（1）连接OF，利用已知条件证明∠BFG+∠B＝90°，即可得到FG⊥AB，最后利用同角的余角相等即可求解； （2）连接DF，先利用勾股定理求出AB＝5，进而求出CD＝BD＝2.5，再求出CF＝2，进而求出DF＝1.5，利用面积法即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接OF， ∵∠ACB＝90°，AD＝DB， ∴DC＝DB＝DA， ∵CD是直径， ∴∠CFD＝90°，即DF⊥BC， ∴CF＝FB， ∵OC＝OD，CF＝BF， ∴OF是△CDB的中位线， ∴OF∥BD， ∴∠OFC＝∠B， ∵FG是⊙O的切线， ∴∠OFG＝90°， ∴∠OFC+∠BFG＝90°， ∴∠BFG+∠B＝90°， ∴∠FGB＝90°， ∴∠GFB+∠B＝90°， 而∠A+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BFG； （2）解：连接DF， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝5， ∴点D是AB中点， ∴CD＝BD=12AB＝ ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CFD＝90°， ∴BF＝CF=12BC＝ ∴DF=2.52 ∴S△BDF=12×DF×BF=1 ∴FG=DF×BF 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键． 例2．（2023?金牛区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，点E是边AC的中点，直线ED、BC交于点F． （1）求证：直线DE是圆O的切线； （2）若BC＝6，sin∠A=35，求线段 【分析】（1）连接OD、CD，由BC为⊙O的直径，得∠BDC＝∠ADC＝90°，由点E是边AC的中点，得DE＝AE＝CE，则∠FDB＝∠EDA＝∠A，所以ODF＝∠ODB+∠FDB＝∠OBD+∠A＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线； （2）先证明∠BCD＝∠A，则BDBC=sin∠BCD＝sinA=35，所以BD=35BC=185，由勾股定理得DC=BC2-BD2=245，则BDDC=34，再证明△FDB∽△FCD，得BFDF=DFCF 【解答】（1）证明：连接OD、CD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°， ∵点E是边AC的中点， ∴DE＝AE＝CE=12 ∴∠FDB＝∠EDA＝∠A， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ODF＝∠ODB+∠FDB＝∠OBD+∠A＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠BCD＝∠A＝90°﹣∠ABC，BC＝6， ∴BDBC=sin∠BCD＝sinA ∴BD=35BC=3 ∴DC=B ∴BDDC ∵∠FDB＝∠EDA＝∠A， ∴∠FDB＝∠FCD， ∵∠F＝∠F， ∴△FDB∽△FCD， ∴BFDF ∴DF=43BF，DF2＝BF?CF＝BF（BF ∴（43BF）2＝BF（BF+6 解得BF=547或BF＝ ∴线段BF的长度是547 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 例3．（2023?工业园区校级模拟）如图，锐角△ABC中∠A的平分线交BC于点E，交△ABC的外接圆于点D、边BC的中点为M． （1）求证：MD垂直BC； （2）若AC＝5，BC＝6，AB＝7．求BDAD （3）作∠ACB的平分线交AD于点P，若将线段MP绕点M旋转180°后，点P恰好与△ABC外接圆上的点P重合，则tan∠BAC＝　3　． 【分析】（1）先判断出BD＝CD，即可得出结论； （2）先判断出△DBE∽△DAB，得出BE=7BDAD，同理△DEC∽△DCA，得出CE （3）如图，连接BP、BP′、CP′，先判断出∠BPC+∠BAC＝180°，进而判断出∠BAC＝60°，再利用特殊角三角函数值即可． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴BD= ∴BD＝CD， 又∵M是BC的中点， ∴MD⊥BC； （2）解：∵∠DBC与∠CAD都是CD所对的圆周角， ∴∠DBC＝∠CAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠DBC， 又∵∠D是公共角， ∴△DBE∽△DAB， ∴DBBE=DA ∵AB＝7， ∴BE=7BD 同理