压轴题14以四边形为背景的几何类比探究压轴问题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）（解析版）.docxVIP

2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题14以四边形为背景的几何类比探究压轴问题 例1．（2023?金牛区模拟）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P． （1）如图1，若ABAD=35，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝ （2）如图2，若∠EBF＝∠DEC，BPAD=2 （3）如图3，连接AP，若∠EBF＝∠DEC，AP＝AB＝2，BC＝3，求PB的长度． 【分析】（1）根据矩形的性质可得：AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，CDBC=ABAD=35 （2）根据已知条件可证得△EBP∽△ECB，得出BPBC=EPEB=EBEC，进而得出EB=3 （3）过点A作AH⊥BP于H，过点P作MN⊥BC于N，交AD于M，根据等腰三角形性质可得BH＝HP，设BH＝HP＝x，则BP＝2x，即BPBC=2x3，仿照（2）可得△EBP∽△ECB，得出EPEB=EBEC=BPBC=2x3，推出EPPC=4x29，由MN∥CD，可得PMCD=EPPC 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°， ∵ABAD ∴CDBC ∵∠A+∠ABP+∠BPE+∠AEP＝360°，∠AEP+∠ABP＝180°， ∴∠A+∠BPE＝180°， ∴∠BPE＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°＝∠CPF， ∴∠ECD+∠CFB＝90°， ∵∠FBC+∠CFB＝90°， ∴∠ECD＝∠FBC， ∴△CED∽△BFC， ∴DECF ∵CF＝4， ∴DE=35CF=3 （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵∠EBF＝∠DEC， ∴∠EBF＝∠ECB， ∵∠BEP＝∠CEB， ∴△EBP∽△ECB， ∴BPBC ∵BPBC ∴EPEB ∴EB=32 ∵EC＝EP+PC， ∴32 ∴EPEP+PC ∴EPPC （3）如图3，过点A作AH⊥BP于H，过点P作MN⊥BC于N，交AD于M， ∵AP＝AB＝2＝CD，AH⊥BP， ∴BH＝HP，设BH＝HP＝x，则BP＝2x， ∵BC＝AD＝3， ∴BPBC ∵∠EBF＝∠DEC，由（2）得△EBP∽△ECB， ∴EPEB ∴EB=32x ∵EC＝EP+PC， ∴32xEPEC ∵MN∥CD， ∴PMCD ∴PM=8 ∵∠D＝∠DCN＝∠MNC＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴MN＝CD＝2， ∴PN＝2-8 ∵∠BNP＝∠AHB＝90°， ∴∠PBN+∠BPN＝90°， ∵∠PBN+∠ABH＝90°， ∴∠BPN＝∠ABH， ∴△BPN∽△ABH， ∴PNBP ∴AB?PN＝BH?BP， ∴2（2-8x29）＝ ∴x2=18 ∵x＞0， ∴x=3 ∴BP＝2x=6 故PB的长度为634 【点评】本题是矩形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 例2．（2023?浠水县二模）四边形ABCD是正方形，E是直线BC上一点，连接AE，在AE右侧，过点E作射线EP⊥AE，F为EP上一点． （1）如图1，若点E是BC边的中点，且EF＝AE，连接CF，则∠DCF＝　45　°； （2）如图2，若点E是BC边上一点（不与B，C重合）．∠DCF＝45°，判断线段EF与AE的数量关系，并说明理由； （3）若正方形边长为1，且EF＝AE，当AF+BF取最小值时，求△BCF的面积． 【分析】（1）由“AAS”可证△ABE≌△EHF，可得BE＝FH，AB＝EH，即可求解； （2）由“ASA”可证△AEN≌△FEC，可得AE＝EF； （3）先证点F是在过点C且与CD成45°的直线上运动，由面积法可求FH的长，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，过点F作FH⊥直线BC于H， ∵AE⊥EF，FH⊥BC， ∴∠AEF＝∠EHF＝90°＝∠ABC， ∴∠AEB+∠FEC＝90°＝∠AEB+∠BAE， ∴∠BAE＝∠FEH， 又∵EF＝AE， ∴△ABE≌△EHF（AAS）， ∴BE＝FH，AB＝EH， ∴BC＝EH， ∴BE＝CH＝FH， ∴∠FCH＝45°， ∴∠DCF＝45°， 故答案为：45； （2）EF＝AE，理由如下： 如图2，过点E作EN⊥BC交AC于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°＝∠ACD＝∠DCF， ∵NE⊥BC，AE⊥EP， ∴∠NEC＝∠AEP＝90°， ∴∠AEN＝∠PEC，∠ENC＝∠ECN＝45°， ∴NE＝EC，∠ANE＝∠ECF＝135°， ∴△AEN≌△FEC（ASA）， ∴AE＝EF； （3）如图，连接AC，过点E作EN⊥BC交AC于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45