压轴题11二次函数与圆综合问题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）（解析版）.docxVIP

2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题11二次函数与圆综合问题 解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有： 直线与圆的位置关系： 平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有： 利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题 利用勾股定理解决问题 利用相似列出比例式解决问题 2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟 3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”. 考向一、二次函数与圆的胡不归最值问题 例1．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由； （3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为22，求1 【分析】（1）运用待定系数法即可求出答案； （2）分三种情况：①当AM＝BM，时，点P与F重合；②当AB＝AM＝42时，M在x上方和下方两种情况；③当AB＝BM＝42时，由等腰三角形“三线合一”即可求出； （3）如图2，以O为圆心，22为半径作圆，则点P在圆周上，在OA上取点D，使OD=2，连接PD，根据相似三角形的判定定理得到△APO∽△PDO，根据相似三角形的性质得到POOD=AOPO=PDAP=2，从而得：PD=12AP，当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D 【解答】解：（1）由题意64+8b+c=04a+2b+c=-3 解得：a=1 ∴二次函数的表达式为y=14x2﹣2 （2）过点A作直线AF⊥x轴于点F， 由（1）得y=14（x﹣4）2﹣ ∴抛物线的顶点A（4，﹣4）， ①AM＝BM， ∵B（8，0）， ∴BF＝4， ∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴M在点F处，△ABM是等腰直角三角形，此时M为（4，0）， ②AB＝AM， 由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4， ∴AB=BF2 ∴M为（4，﹣4﹣42）或（4，﹣4+42）， ③AB＝BM， ∵AB＝BM，BF⊥AM， ∴MF＝AF， ∴M为（4，4）， 综上所述，M为（4，0），（4，﹣4﹣42）或（4，﹣4+42）或（4，4）； （3）如图2，以O为圆心，22为半径作圆，则点P 在OA上取点D，使OD=2，连接PD 则在△APO和△PDO中， 满足：POOD=AOPO=2 ∴△APO∽△PDO， ∴POOD= 从而得：PD=12 ∴12AP+PB＝PD+PB ∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值， 过点D作DG⊥OB于点G，由于OD=2，且△ABO 则有DG＝1，∠DOG＝45°， ∴12AP+PB的最小值为：12AP+PB＝DB=D 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，配方法，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形判定和性质，圆的性质等，熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键． 考向二、二次函数与圆性质综合问题 例2．如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点． （1）求过A，B，C三点的抛物线解析式； （2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN?MB时，求M点的坐标； （3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由． 【分析】（1）先根据圆的性质得出A（2，0），C（0，2），D（﹣2，0），E（0，﹣2），设y＝a（x+1）（x﹣2），将C（0，2）代入，即可求得抛物线解析式． （2）如图2，过点C作CH⊥BP于H，根据MC2＝MN?MB，∠CMN＝∠BMC，可得△MCN∽△MBC，进而可求得CH＝BH=102，再利用三角函数求得CM=524，AM=324，过点 （3）设抛物线与⊙O的交点坐标为（t，﹣t2+t+2），根据⊙O的半径为2，可得方程（t﹣0）2+（﹣t2+t+2﹣0）2＝22，即可得出H（2，2），F（-2，-2），进而得出H、F关于点O对称，故FH＝CE＝4，且OC＝OE＝OF＝OH，即可判断四边形 【解答】解：（1）如图1，∵圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点， ∴A（2，0），C（0，2），D（﹣2，0），E（0，﹣2）， ∵B为OD中点， ∴B（﹣1，0