压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）（解析版）.docxVIP

2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题 例1．（2023?海曙区一模）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）． （1）若抛物线过点（4，3）． ①求顶点坐标； ②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为 　﹣1≤y≤15　； （2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值． 【分析】（1）①解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标； ②求得x＝6时的函数值，根据二次函数的性质即可求解； （2）抛物线开口向上，对称轴为直线x=2a，由当0≤x≤m时，1≤y≤9可知抛物线顶点坐标为（2a，1）且过点（m，9），把顶点坐标代入解析式即可求得a＝2，然后把点（m，9 【解答】解：（1）若抛物线过点（4，3），则3＝16a﹣16+3， 解得a＝1， ∴y＝x2﹣4x+3； ①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）； ②当x＝6时，y＝x2﹣4x+3＝15， ∴当0≤x≤6时，直y的取值范围为﹣1≤y≤15， 故答案为：﹣1≤y≤15； （2）抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）对称轴为直线x=--4 ∵当0≤x≤m时，1≤y≤9，且x＝0时，y＝3， ∴x=2a时，y＝1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为（2a ∴1=4a 解得a＝2， ∴y＝2x2﹣4x+3， 把x＝m，y＝9代入得9＝2m2﹣4m+3， 解得m1＝3，m2＝﹣1， ∴m＞0， ∴m＝3， 故a的值为2，m的值为3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 例2．（2023春?上城区校级月考）设二次函数y＝ax2+4ax+4a+1，a为常数，且a＜0． （1）写出该函数的对称轴和顶点坐标． （2）若该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），当n≥1时，试比较y1和y2的大小关系． （3）若该函数图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，请求出实数n的取值范围． 【分析】（1）画出顶点时，即可求得对称轴和顶点坐标； （2）根据二次函数的性质即可得到结论； （3）利用函数图象，结合函数的对称性即可得出n的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1， ∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，1）； （2）∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小， ∵该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2）， ∴当n≥1时，y1＞y2； （3）∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x2≥3时均有y1≥y2， ∴|x1+2|≤|x2+2|，即|x1+2|≤x2+2， ∴x1+2≤x2+2，或x1+2≥﹣2﹣x2， ∴x1≤x2，或x1≥﹣4﹣x2 ∵x2≥3， ∴﹣4﹣x2≤﹣7， ∵该二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2， ∴n≥-7n+1≤3 ∴﹣7≤n≤2． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是灵活应用二次函数的性质解题． 例3．（2023春?顺义区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点． （1）求抛物线的对称轴； （2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由； （3）若当t﹣1＜x1＜t且t+1＜x2＜t+2时，存在y1＝y2，求t的取值范围． 【分析】（1）将关系式化为顶点式，即可得出答案； （2）根据x的大小判断点A，点B与对称轴的距离，再讨论a，即可得出答案； （3）根据题意可知点A和点B在对称轴的两侧，可判断t的取值范围，再根据两点到对称轴的距离相等得出范围即可． 【解答】解：（1）由y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1； （2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，对称轴是直线x＝1， ∴点A比点B离对称轴远， 若a＞0，抛物线开口向上，y1＞y2， 若a＜0，抛物线开口向下，y1＜y2； （3）∵y1＝y2， ∴点A和点B关于对称轴x＝1对称， ∴t＜1且1＜t+1， 解得0＜t＜1， ∵点A和点B到对称轴的距离相等， ∴1﹣x1＝x2﹣1， ∴1﹣（t﹣1）＞t+1﹣1且1﹣t＜t+2﹣1， 解得0＜t＜1， 所以t的取值范围是0＜t＜1． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握函数值相等时x的值与对称轴之间的关系是解题的关键． 例4．（2023春?柯桥区月考）如图，已知二次函数y＝x2+ax+a+1