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考 前 必 背
第一章 空间向量与立体几何
一、共线向量定理、共面向量定理
1.共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
二、空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
三、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
运算
坐标表示
加法
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R
数量积
a·b=a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量常用结论的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
结论
坐标表示
共线
a∥b(b≠0)?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直
a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0
模
|a|=a·a=a12+
夹角
cosa,b=a·b
3.空间两点间的距离公式
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则P1P2=|P1
四、空间向量的应用
1.设直线l,m的方向向量分别为μ,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
线线平行
l∥m?μ∥v?μ=λv,λ∈R
线面平行
l∥α?μ⊥n1?μ·n1=0
面面平行
α∥β?n1∥n2?n1=λn2,λ∈R
线线垂直
l⊥m?μ⊥v?μ·v=0
线面垂直
l⊥α?μ∥n1?μ=λn1,λ∈R
面面垂直
α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0
线线夹角
l,m的夹角θ∈0,π2,cos θ
线面夹角
l,α的夹角为θ∈0,π2,sin θ
面面夹角
α,β的夹角为θ∈0,π2,cos θ
2.直线外一点到直线的距离
设AP=a,直线l的单位方向向量为u,P?l,A∈l,Q∈l,则向量AP在直线l上的投影向量为AQ=(a·u)u,点P到直线l的距离PQ=
3.平面外一点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离PQ=AP·
第二章 直线和圆的方程
一、直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角
定义
当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角
规定
当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0
范围
[0,π)
2.直线的斜率
定义
当直线l的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan
斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=y
3.直线的方向向量
直线的方向向量
设A,B为直线上的两点,则AB就是这条直线的方向向量
方向向量的坐标
设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),则直线AB的一个方向向量为AB=(x2-x1,y2-y1)
方向向量与斜率
若直线l的斜率为k,则直线l的一个方向向量为(1,k)
4.两条直线平行和垂直的判定
对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2.
位置关系
判定
特例
平行
l1∥l2?k1=k2
直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行
垂直
l1⊥l2?k1k2=-1
一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直
二、直线的方程
直线方程的五种形式及适用范围:
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y=kx+b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y-y0=k(x-x0)
两点式
过两点
y?
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
横、纵截距
xa
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不同时为0)
所有直线
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点坐标
直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)和l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)的公共点的坐标就是方程组A1x
位置关系
方程组的解的个数
相交
方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解
平行
方程组无解
重合
方程组有无数个解
2.距离公式
距离类型
已知几何元素
距离公式
两点间的
距离
两点P1(x1,y1),
P2(x2,y2)
|P1
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