2024版高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第一章 空间向量与立体几何 专题强化练1 空间向量及其运算.docx

PAGE 4 专题强化练1　空间向量及其运算 1.(2023安徽黄山屯溪一中月考)已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),且ka-b与2a+b互相平行,则k=(　　) A.1　　B.-2　　C.-1　　D.2 2.(多选题)(2022广东珠海二中期中)如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,3,…,16)是上、下底面上除A,B两点以外其余的十六个点,则AB·APi的值可能是 A.0　　B.1　　C.2　　D.3 3.(2022浙江台州玉环玉城中学月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=3,AA1=5,AB=4,E,F,G分别是棱C1D1,BC,CC1的中点,M是平面ABCD内一动点,若直线D1M与平面EFG平行,则MB1·MD A.75 4.(2022北京四中月考)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1=60°,E为棱C1D1的中点,则AB·AE= 5.(2022山东济宁邹城二中月考)已知点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则PA·PC 6.(2023广东佛山三水华侨中学月考)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积; (2)若向量a分别与AB,AC垂直,且|a|=3,求a 7.(2023河南郑州四校联考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠BCA=90°,AA1=2,Q为A1A的中点. (1)求BQ的模; (2)求cosBQ,CB1,cosBA1  答案与分层梯度式解析 专题强化练1　空间向量及其运算 1.B 2.AB 3.A 1.B　由题意得ka-b=(k-1,k,-2),2a+b=(3,2,2),∵ka-b与2a+b互相平行,∴k?13=k2= 2.AB　由题图知,AB与正四棱柱的上底面垂直,所以AB⊥BPi(i=1,2,…,8),则AB·APi=|AB|·|APi|·cos∠BAPi=|AB|·|AB|=1;同理,AB与正四棱柱的下底面垂直,所以AB⊥APi(i 3.A　连接AC,BD交于点O,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接AD1,CD1,补全截面EFG为截面FGEHIL,其中H,I,L分别为A1D1,A1A,AB的中点,所以LF∥AC,EG∥CD1,AC∩CD1=C,LF,EG也相交,所以平面D1AC∥平面FGEHIL,所以M的轨迹是直线AC.易得B1D1=5, 则MB1·MD1=14[(MB1+MD1)2-(MB1?MD1)2]=14[(2MO1)2-D1B12]=1 4.答案　14 解析　AB·AE=AB·AA1+AD+12 5.答案　?1 解析　连接D1P,D1A.设D1P=xD1A1+yD1C 则PA=D1A?D1P=D1D+ ∴PA·PC1=[D1D+(1-x)D1A1?yD1C1]·[(1-y)·D1 易知当x=y=12时,PA·PC1取得最小值,为-12 ;当x=0或1,且y=0或1时,PA· 6.解析　(1)由题得,AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),∴|AB|=14,| ∴cos∠BAC=AB·AC|AB||AC ∴所求平行四边形的面积S=2×12×14×14×sin 60°=73 (2)设a=(x,y,z),∵a⊥AB,a⊥AC,且|a|=3, ∴?2 ∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1). 7.解析　(1)以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,0,0),B(0,1,0),Q(1,0,1),B1(0,1,2),A1(1,0,2), ∴BQ=(1,-1,1), ∴|BQ|= (2)由(1)得CB1=(0,1,2),BA1=(1, ∵BQ·CB1=1,|BQ|=3,| ∵BA1·CB1=3, ∴cosBA ∵0151530101,∴BQ,CB1∈0,π2,BA1,CB1